Цифровой гармонический фильтр.

 

Толстунов Владимир Андреевич,

кандидат технических наук, доцент кафедры Автоматизации исследований

и технической кибернетики Кемеровского Государственного Университета.

Федорова Мария Евгеньевна,

аспирант кафедры Автоматизации исследований и технической кибернетики

Кемеровского Государственного Университета,

инженер-программист ООО «Дейта».

 

Исследуется алгоритм сглаживающего фильтра с гармоническим преобразованием. Приведены результаты работы данного алгоритма при обработке изображений.

 

Продажа квартир во всеволожске

продажа квартир во всеволожске

bulgakoff.spb.ru

Пусть на вход цифрового фильтра со скользящим окном, длиной апертуры n+1 поступают отсчеты сигнала  x(t_k) = x_k = s_k+n_k+ε_k, k=1,2,…, где s_k – полезный детерминированный сигнал, n_k – гауссовский шум с нулевым средним значением и дисперсией σ² , ε_k – импульсный шум, принимающий значения 0, А>0 с вероятностями соответственно p, q=1-p.

По значениям входного сигнала из апертуры {x_k-n/2,…,x_k,…,x_k+n/2} определяем значение выхода фильтра y_k, соответствующего отсчету x_k. Полагаем,  что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Это предположение оправдано, по крайней мере, при высокой частоте дискретизации сигнала x(t) и малых значениях апертуры. Тогда

x_i = s_k + n_i,   i

Для сглаживания отсчетов входного сигнала используем гармонический фильтр [1], выходной сигнал которого определяется соотношением

                                                                                             (1)

Здесь   принимает целые значения и характеризует порядок нелинейности фильтра.

Для выбранной модели входного сигнала, согласно известной формуле полной вероятности [2], легко найти плотность распределения

                       (2)

Используя (2), по известным соотношениям [2] можно найти плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию сигнала (1). При слабом гауссовском шуме, когда ,будем иметь

                                  (3)

                                                              (4)

                                                                          (5)

Здесь - математическое ожидание и дисперсия случайной величины

,

распределение которой, в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей [2], считается нормальным.

При слабом гауссовском шуме  большом импульсном шуме  можно получить

                                                                                        (6)         

                                                                                                   (7)

 

                                                                (8)

В результате из (6), (7), (8) для (4), (5) будем иметь

                                            (9)

                                                                  (10)

Из (9) видно, что для выбранной модели полезного сигнала . Так как при

,

то в этом случае . Из (10), также, следует, что .

Таким образом, за счет увеличения параметра нелинейности m гармоническим фильтром при  можно убрать импульсный шум большой амплитуды и, по крайней мере, слабый гауссовский шум.

Одной из характеристик, оценивающей качество фильтрации, может служить вероятность

                                                                      (11)

где - задаваемые константы. Наибольший интерес, при этом, представляет вероятность

                                (12)

при . Из (12) следует, в частности, что при моделировании работы фильтра для оценки качества фильтрации наряду с другими характеристиками можно использовать процент совпавших точек полезного и профильтрованного сигналов.

Для гармонического фильтра, используя (3), (12), находим

                          ,                 (13)

где

В случае , когда из (6), (7), (8) следует

,  , 

имеем

                                        (14)

Ниже приведен ряд вероятностей, рассчитанных по (14), при .

n+1	3	3	3	3	5	5
m	6	10	20	20	20	20
p	0.9	0.9	0.5	0.9	0.5	0.9
Pγ	0.975	0.998	0.887	1	0.941	1

 

Из этих данных следует, что уже при  даже в случае большой интенсивности импульсного шума с вероятностью близкой к единице сигнал на выходе фильтра будет отличаться от истинного значения полезного сигнала не более, чем на 10%.

Алгоритм (1) можно обобщить на случай фильтрации двумерных сигналов. Пусть y_kl – значение выходного двумерного сигнала, которое соответствует входному х_kl, апертура фильтра выбрана в виде квадрата с длиной стороны n+1. Тогда согласно (1) будем иметь

                                                                                                    (15)                                           

Фильтр (15) был промоделирован численно.

 Результаты моделирования:

Рис.1. Полезный сигнал. Размер изображения 375*368.

 

 

Рис.2.Импульсный шум p=0,4; q=0.6; A= 200.

 

 

Рис.3. Результат обработки исследуемым фильтром (15). Параметры: m=100; n+1=3.

 

Литература.

 

1.       Толстунов В.А. Нелинейная фильтрация с помощью обобщенного сглаживающего фильтра // Вестник КемГУ, серия математика-Кемерово: Изд. КемГУ,2000.- вып. 4.- с.165-171.

2.      Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1976.-352 с.

 

Поступила в редакцию 21 ноября 2006 г.