УДК
621.755 - 251
Способ измерения динамического
дисбаланса жестких роторов в режиме малых угловых колебаний.
Кочкин
Сергей Вячеславович,
аспирант кафедры «Автоматика
и телемеханика»,
старший научный сотрудник ООО «НПП
«Техника», г. Пенза,
Кожевников Вячеслав Владимирович,
аспирант
кафедры «Металлообрабатывающие станки и комплексы»,
Пензенский Государственный Университет.
Аннотация.
В статье рассмотрено теоретическое обоснование возможности измерения динамического дисбаланса жестких роторов с двумя плоскостями приведения в режиме малых угловых колебаний. Составлены и решены дифференциальные уравнения движения.
На рисунке 1 показана схема установки балансируемого ротора в двух положениях в прямом, исходном положении а) и в обратном, перевернутом положении б).
Рис. 1.
Схема установки ротора с избыточными
массами и неуравновешенными силами инерции.
Известно [1],
что в общем случае неуравновешенность ротора вызывается смещением главной центральной
оси инерции с геометрической оси 
и определяется центробежными
моментами инерции и величиной смещения центра масс ротора относительно оси
вращения. В этом случае неуравновешенность ротора может быть
сведена к двум избыточным массам 
и 
, расположенным, как показано на рисунке 1, а) в двух плоскостях
приведения неуравновешенности I
и II на некотором
радиусе 
с двумя угловыми
коэффициентами 
и 
. На этом рисунке ротор изображен в виде вала 1 с насаженными
на него дисками 2 и 3. Они же являются плоскостями приведения неуравновешенности
I и II. Нижняя цапфа ротора опирается на
неподвижный шарнир 4, расположенный в центре О неподвижной системы
координатных осей X, Y, Z. Продольная ось ротора в неподвижном
состоянии совпадает с осью Z.
Верхняя цапфа ротора упирается в верхний шаровой шарнир 5, упруго связанный с
рамой 6 упругим элементом 7. Жесткость 
этого элемента вместе
с экваториальным моментом инерции ротора 
или 
определяют собственную
частоту системы ротор-рама 
и характеризуют режим
вынужденных угловых колебаний ротора вокруг осей X или Y под действием неуравновешенных его сил инерции. Для тел
вращения 
.
На рисунке 1,
а и б показаны координаты расположения плоскостей приведения 
и
причем 
а их сумма равна общей
длине ротора 
.
Известно, что тангенциальные силы определяются угловым ускорением, а центробежные силы – квадратом угловой скорости.
Тогда при методе малых угловых колебаний имеем
,
Учитывая, что
амплитуда угловых колебаний весьма малая величина и принята в пределах
0,02…0,05 радиан, делаем вывод, что центробежные силы на один - два порядка
меньше тангенциальных и, следовательно, ими можно пренебречь. К тому же они
имеют двойную частоту 
и могут быть легко отфильтрованы
от основной частоты 
.
На рисунке 1, в и г показаны угловые координаты и избыточных масс и соответственно в
исходном и перевернутом положениях ротора, а также неуравновешенные силы
инерции и их проекции на координатные оси X и Y.
При этом на рисунке 1, в показаны как
тангенциальные силы 
и 
и
их проекции, так и центробежные силы 
и 
и их проекции, а на
рисунке
Как видно из
рисунка, кроме задаваемых угловых колебаний 
под действием неуравновешенных
сил инерции возникают так же угловые колебания ротора 
вокруг оси 
, лежащей в плоскости координатных осей X и Y и проходящей через неподвижный центр О в направлении, перпендикулярном
суммарному вектору всех неуравновешенных сил инерции. Для нахождения этого
направления используется один поворотный датчик неуравновешенности,
расположенный в верхней горизонтальной плоскости рамы 6, по максимальному показанию которого определяется величина суммарного вектора
неуравновешенных сил инерции, а по его угловому положению – направление этого
вектора.
В настоящей работе принят метод измерения неуравновешенности в проекциях на координатные оси X и Y.
Для этого
общее колебательное движение вокруг оси 
раскладывается на два
движения: 
- вокруг оси X
под действием проекций неуравновешенных сил на ось Y и 
- вокруг оси Y
под действием проекций неуравновешенных сил на ось X. При этом используются два неподвижных
датчика проекций неуравновешенности также расположенные в верхней
горизонтальной плоскости рамы в направлении осей X и Y.
Таким образом,
можно составить по два дифференциальных уравнения колебательных движений и вокруг осей X и Y соответственно для исходного (рисунок
1, а) и перевернутого положения
ротора (рисунок 1, б).
В первом случае имеем
,
где
- экваториальный
момент инерции относительно оси X
или Y;
- коэффициент,
учитывающий сопротивление среды или демпфирования колебаний;
- моментная жесткость
упругого элемента;
, 
и 
, 
- соответственно
угловые ускорения и угловые скорости угловых колебаний
и .
Пренебрегая
величинами второго порядка малости (слагаемые с двойной частотой и с коэффициентом
) будем иметь:
Аналогично для второго случая (рисунок 1, б)
Поделив почленно каждое из этих уравнений на экваториальный момент
инерции ротора , приведем эти уравнения к следующему виду:
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь 
- коэффициент
затухания колебаний;
- собственная частота
колебаний системы.
Решение выполняем по известной методике, представляя, как сумму общего решения без правой части и частного решения с правой частью.
Для получения
периодического решения необходимо, чтобы удовлетворялось условие 
, что обычно имеет место на практике.
Аналогично: 
Первые
слагаемые в этих выражениях представляют затухающие свободные колебания,
вызванные начальным отклонением колебательной
системы от положения равновесия на величину 
и 
соответственно и сообщающие
ей начальные скорости 
и 
. Частота этих колебаний несколько меньше собственной
частоты. Это отличие составляет всего несколько процентов и может не
учитываться. Вторые слагаемые представляют затухающие колебания той же частоты,
что и свободные, и возникают из-за наличия возмущающих моментов. Наконец третьи
слагаемые - это вынужденные колебания, имеющие частоту возмущающих моментов от
неуравновешенных сил инерции, амплитуды которых 
и 
определяются по
формулам:
, (5)
. (6)
Фазовый сдвиг
этих колебаний 
равен 
и может изменяться в
пределах от 
до
, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний 
и вынужденных
колебаний 
.
Применяя уравнения (5) и (6) можно определить величину и место расположения дисбаланса ротора при его измерениях в режиме малых угловых колебаний.
Литература.
1. Щепетильников В.П./Основы балансировочной
техники. М. - Машиностроение. 1975. С.527.
Поступила в редакцию 11.03.2008 г.