Значимость определений и теорем при
решении математических задач.
Азизян
Инара Артушовна,
соискатель кафедры
математического анализа Рязанского Государственного Университета,
старший преподаватель
Рязанского Политехнического Института.
Типичной ошибкой при решении математических задач в школьном курсе является пренебрежительное отношение к математическим определениям. Подчас задачи, имеющие простые объяснения на основе определений, усложняются из-за ненужных действий. Иногда на практике решения задач основываются не на аксиомах, определениях, теоремах, а на разного рода побочных соображениях.
Например,
рассмотрим уравнение «
». Для решения данного уравнения возводят обе части в
квадрат, накладывают дополнительное ограничивающее условие «
».
Имеем
равенство «». Равенство является объектом предметного языка. Что
представляет собой это равенство? Чтобы понять это, достаточно обратиться к
определению арифметического корня. Равенство «» говорит: 
есть арифметический квадратный корень из 
. В соответствии с определением арифметического квадратного
корня это означает: есть неотрицательное число, квадрат которого равен А, или и 
[1].
То есть в
силу определения арифметического квадратного корня 
Пример.
Решите уравнение 
.
Для начала
обратимся к работе В. Рыжика [2]. В ней говорится, что любое уравнение вида 
равносильно системе 
Далее, приводится вот такое доказательство.
Если 
является корнем уравнения , то справедливо числовое равенство 
, то 
и 
; значит, является решением системы .
Если является решением
системы то есть справедливо числовое равенство и , то 
; поскольку , 
, значит, является корнем уравнения .
Между тем достаточно рассуждать, не выходя за пределы предметного языка, оперируя только определением арифметического корня.
В
соответствии с определением арифметического квадратного корня это означает: 
есть неотрицательное число, квадрат которого равен 
, или 
и 
.
Если следовать схеме, предложенной выше, то придется проделать ненужные операции.
Пусть корень уравнения , то есть справедливо числовое равенство 
Значит 
и 
, то есть является решением
системы 
.
Пусть является корнем
системы , то есть справедливо числовое равенство и , то 
, так как , то 
, то есть 
, значит является корнем уравнения .
Между тем, по
определению арифметического корня следует, что число 
есть неотрицательное
число, квадрат которого равен 
, или 
и 
Пример. Решите уравнение
.
По определению арифметического квадратного корня:
число 2 есть неотрицательное число, квадрат которого равен 
, то есть 
и 
, то есть 
.
Любое неравенство вида 
равносильно системе 
[1]
Пример. Решите неравенство 
.
Аналогичные рассуждения приводят к следующим
действиям.
Неравенство
(1) равносильно
системе 
(2)
Пусть сначала является решением неравенства (1), тогда справедливо числовое
равенство 
. Докажем, что тогда является решением
системы (2).
(
и 
), т. е. 
и 
.
Следовательно, является решением
системы .
Пусть является решением
системы (2), тогда справедливы неравенства и . Следовательно, . То есть является решением
неравенства .
Чтобы установить справедливость равносильности мы
переходим к числовым неравенствам, рассматриваем на основе свойств числовых
неравенств, устанавливаем справедливость равносильности, и потом только
возвращаемся к исходным неравенству и системе и говорим об их равносильности. Но
достаточно для этого рассмотреть свойства рассматриваемой функции.
Функция 
есть возрастающая функция с областью определения 
. Если 
, то 
.
Литература.
1. Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе. Рязань, 1999.
2.
Рыжик В. Надо ли искать ОДЗ? // Квант.
Поступила в редакцию 14 января