Тождество или теорема?

Азизян Инара Артушовна,

соискатель кафедры математического анализа Рязанского Государственного Университета,

старший преподаватель Рязанского Политехнического Института.

Часто в учебных пособиях можно встретить такие утверждения:

Равенство является тождеством; (1)

Равенство является тождеством; (2)

Равенство  является тождеством; (3)

Равенство  является тождеством. (4)

Можно привести много таких примеров.

О чем идет речь? Что такое тождество? Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него букв.

Рассмотрим равенство (1), применяя определение понятия «тождества».

Равенство выполняется при всех допустимых значениях, входящих в него букв.

— Какие буквы входят в данное равенство?

— Буква  «а».

— Какие допустимые значения буквы «а»?

— Ее допустимыми значениями являются только все неотрицательные действительные числа?

Таким образом, получаем что, равенство выполняется при всех .

Теорема: Для любого действительного числа , если , то .

Рассмотрим равенство (2).

Равенство выполняется при всех допустимых значениях, входящих в него букв. В этом равенстве две буквы «» и «». Их допустимыми значениями являются все неотрицательные действительные числа. То есть выполняется при всех  и .

Теорема: Для любых действительных чисел и , если , , то .

Рассматривая тождество , мы рассматриваем заключительную часть данной теоремы, а посылку отбрасываем. Полагать что, непременно нет оснований.

Если , , то . Если и , то нужно представить в виде произведения положительных чисел. Так как и , то и , при этом , то есть посылка теоремы при этом выполняется [1].

Рассмотрим равенство  (3) . В этом равенстве также две буквы «» и «». Допустимыми значениями буквы «» являются все неотрицательные действительные числа, а допустимыми значениями числа «» являются все положительные действительные числа. Таким образом, равенство  выполняется при всех  и .

Теорема. Для любых действительных чисел  и , если , , то  .

В учебнике под редакцией С.А. Теляковского  сначала дается теорема [2]. При любом значении  верно равенство . Обозначается (1). Далее говорится, что при извлечении квадратного корня из степени с четным показателем используется тождество (1) . То есть применяется не сама теорема, а тождество (1).

В учебнике под редакцией Ш.А. Алимова и др. также сначала дается теорема [3]. Далее считают, что целесообразнее, вместо того, чтобы говорить, что равенство   выполняется при любых значениях входящих в него букв, говорить, что это равенство выполняется тождественно.

 Но нельзя забывать, что тождество — это объект метаязыка. Перескок в метаязык затрудняет понимание того, что утверждается.  Между тем надо решать математические задачи опираясь на определения и теоремы, так как они являются объектами предметного языка. В данных теоремах мы рассматриваем действительные числа — они также являются объектами предметного языка. Не надо забывать, что использование метаязыка при работе с конкретными объектами приводит лишь к совершенно излишнему осложнению выражений.

Литература.

1. Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе. Рязань, 1999 г.

2. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С.А. Теляковского, —М.: Просвещение, 2005.

3. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др., — М.: Просвещение, 2004 г.

Поступила в редакцию 14 января 2008 г.