Алгоритмы выявления почти – периодов в
результатах измерений.
Гадзаов
Алексей Федорович,
аспирант кафедры «Прикладная математика»
Московского
Института Радиотехники, Электроники и Автоматики (Технического Университета),
аналитик
ЗАО «ПРОКОНСИМ».
Эффективные методы выявления колебаний разработаны на основе решения задачи о разделении движении.
В связи с этим, возникает задача выделения колебаний по результатам измерений при неизвестном тренде.
Пусть, имеется исходный ряд эмпирических данных yt. Будем считать, что характеристики тренда этого ряда кодируются через опорные точки. Задача состоит в том, чтобы найти такое положение этих точек, которое обеспечит исключение тренда. Рассмотрим в качестве простейшего случая ситуацию, в которой для решения этой задачи используются 3 точки yt-τ , yt , yt+τ, то есть они находятся на равных расстояниях по аргументу от средней точки.
В этой постановке задача сводится к классическим результатам теории пропорции [1], в соответствии с которыми, осуществляется разбиение отрезка (рис. 1).
Рис.1.
Разбиение отрезка.
Рассмотрим две основных пропорции, арифметическую и геометрическую.
Для арифметической пропорции:
или .
Тогда состояние системы характеризуется безразмерным критерием:
, после логарифмирования получим
Для геометрической пропорции:
или .
Тогда состояние системы характеризуется безразмерным критерием:
, после логарифмирования получим
Характеристики эмпирического ряда, представленные этими безразмерными критериями, могут быть использованы в качестве индикаторов характеристик систем для исключения тренда, параметры которого учитываются величиной сдвига по аргументу , относительно состояния . Проблемой при этом является определение такого значения , которое обеспечивает исключение тренда.
Преобразование эмпирических данных в координатах
(1) и (2)
приводит к исключению из исходной зависимости трендовых участков.
Будем подбирать такие значения , которые обеспечивают минимальную амплитуду колебаний для зависимостей (1) и (2).
Для определения почти – периодов построим сдвиговую функцию (функцию Джонсона)[2] для зависимостей, полученных при подстановке в (1) и (2) найденного значения .
Для выявления периодов, свободных от априорных предположений, остается фундаментальное свойство периода функции.
Пусть имеется строго периодическая функция с периодом . Тогда
(3)
Если функция не строго периодическая, то разность для разных будет принимать различные значения. Введем среднее значение абсолютной разности для каждого возможного периода . Для дискретного случая, если n общее число отсчетов функции , заданной экспериментальными значениями, то средняя абсолютная разность для некоторого пробного периода будет равна
(4)
Эта функция называется сдвиговой или функцией Джонсона.
Так как мы хотим найти такие , которые могут претендовать на период с некоторой точностью, то естественно обратить внимание на положение минимумов функции .
Главный период функции может быть определен как
,
где и - естественные пределы поиска периода, выбираемые таким образом, что с одной стороны отбрасываются малые , при которых функция может принимать малые значения из-за инерционности функции и, с другой стороны, отбрасываются большие , при которых определение средней становится ненадежным из-за малости числа - предела суммирования в выражении (4).
Фактически в этом случае выявляются почти - периоды, представленные в экспериментальных данных, вне зависимости от формы колебаний.
Действительно, сдвиговая функция не предъявляет никаких предварительных требований к структуре сигналов, формирующих характеристики системы, однако М. Джонсон обращал внимание на то, что его метод выявляет цикличность в погоде, солнечной активности, вариациях магнитного поля и положениях планет [2]. Все эти системы характеризуются колебаниями относительно некоторого постоянного на длинных интервалах времени уровня.
Системы почти – периодов для критериев, соответствующих арифметическому и геометрическому среднему сравниваются между собой. Результатом является набор совпадающих по разным типам средних почти – периодов.
Тогда алгоритм расчета почти – периодов является следующим:
1) Исходный эмпирический ряд обрабатывается в координатах (1) и (2).
2) Выбираются те значения , которые являются минимумами в зависимости среднего значения амплитуда колебаний от величины сдвига по аргументу.
3) Строится функция Джонсона для рядов (1) и (2) при выбранных .
4) Полученные результаты сравниваются и выбирается почти - период, совпадающий для среднего геометрического и среднего арифметического критериев.
В качестве примера выявления почти - периодов рассмотрим динамику мировой добычи нефти (рис.2)[3].
Рис.2.
Динамика мировой добычи нефти, по оси
ординат тыс. баррелей.
Варьирование величины τ для данных, представленных в виде (1) и (2), показало, что среди эффективных значений есть 10 лет. Полученные после преобразования (1) и (2) результаты на рис.3. Функции Джонсона определяет величины почти – периодов, рис. 4.
Рис. 3.
Данные рис.1 после исключения тренда
зависимостями (1) и (2) при τ = 10 лет..
Рис. 4.
Функции Джонсона для
рис.3.
Представленные на рис.4 результаты показывают наличие в динамике мировой добычи нефти почти – периода продолжительностью 47-48 лет, который воспроизводится для среднего арифметического и среднего геометрического показателей.
Рассмотренный алгоритм, позволяет выделять почти – периоды в экспериментальных данных, с колебаниями относительно тренда.
Литература.
1. Н. Джини. Средние величины. М.:Статистика, 1970
2. Johnson M. Correlations of cycles in
weather, solar activity, geomagnetic values and planetary configurations. - San
Fransisco, Phillips and Van Orden,
1944
Поступила в редакцию 21.02.2008 г.