УДК 517.96:532
Применение объемных изопараметрических
элементов к численной реализации задачи фильтрации в неоднородной упругодеформируемой среде.
Ажиханов
Нурлан Тобаханович,
кандидат физико-математических наук,
доцент, заведующий кафедрой «Информатика и числены
методы» Международного Казахско-Турецкого Университета имени Х. А. Ясави,
Казахстан.
Природные месторождения подземных флюидов обычно
характеризуются сложным многопластовым строением, существенной неоднородностью
фильтрационных свойств пластов. При этом проницаемость является наиболее
изменчивым свойством пласта, существенно влияющим на фильтрационные процессы и
уровни добычи жидкости.
Для определения проницаемости однородных и изотропных
пород при неравномерном разносном нагружении можно использовать среднее
нормальное напряжение и производит соответствующие вычисление на основе
всестороннего сжатие [1].
Для возможности
практического использования трасверсально-изотропной моделей пласта, одним из
наиболее важных моментов является задание основных параметров, входящих в
уравнение
(1)
Полезная информация об эпиляции. Заходите apelsinsalon.ru хб, ПВХ лентой. По минимальным ценам и срокам sitprom.ru
где 
– нормальные
напряжения, 
– касательные
напряжения, 
– плотность, g– ускорение свободного падения.
Рассматриваемая модель
складчато-слойстого неоднородного пласта с наклонными плоско-паралельными
слоями позволяет в рамках представлений сплошной среды с помощью уравнений
сохранения массы описывать поведение фильтрирующейся жидкости.
Полный анализ плоской и
обобщенной плоской деформации трасверсально-изотропного массива нуждается в
следующих параметрах анизотропии [2]
В частном случае параметры изотропного массива имеет
значения
Рассмотрим трехмерный
изопараметрическии шестигранний конечный элемент первого порядка [3], для которого интерполяционный полином является линейной
функцией локальных координат 
и
(рис.1). Пределы изменения локальных координат для всех
элементов составляют 
. Функции формы такого элемента даются соотношениями вида
(2)
где 
локальные координаты узловой точки с номером 
.
Рис. 1.
Трехмерный изопараметрический элемент.
Интерполяционные
соотношения для перемещений в трехмерном изопараметрическом элементе имеют вид
где 
компоненты вектора перемещений в узлах “
”-го элемента.
-единичная матрица.
Интерполяционные
соотношения для конечного элемента определяются как
здесь 
глобальные координаты узловой точки с номером 
.
Это соотношения можно
представит в виде
где 
-матрица функции форм элемента,
-векторы узловых значении глобальных координат.
Матрица жесткости
конечного изопараметрического элемента имеет вид:
.
Здесь матрица градиентов 
определяется из функции формы 
из (2).
-обратная матрица коэффициентов деформации, определяется из (2.1а) после соответствующего
обращения.
В итоге матрицу жесткости
изопараметрического элемента получим из
численное интегрирование
которого осуществляется методом Гаусса, т.е.
.
Здесь 
- точки интергирования Гаусса;
-порядок интегрирования;
- весовые коэффициенты.
Перемещение точек
элемента определяем как
,
где 
- матрица кинематических связи
Матрица конечной
деформации имеет вид.
напряжения определяются
как
.
Искомые значения
определяется из решения систем линейных алгебраических уравнении [3]
,
здесь
где 
- векторы узловых сил конечного элемента, статически эквивалентно действию
конечной деформации, 
поверхностых и 
объемных сил.
Рассмотренную выше матрицу
жесткости элемента можно записать в виде
Аналогичным путем применяем процедуру для
шестигранного изопараметического элемента (рис.1) к решению задачи фильтрации.
Деформируемое состояние наклоненного под углом 
трансверсально-изотропного
массива приводится с применением закона Гука. Численное решение можно
реализовать с помощью МКЭ. Численный эксперимент проводился по следующим данным: в качестве пород
наклонных слоев взяты [4] Аргилит,
Алевролит, Песчаник, Известяк, модуль упругости которых имеет, соответственно
значения 
, постоянная Пуассона,
соответственно 
. Полученные результаты представлены в рис.2.
а)
б)
Рис.2. Изолинии нормальных напряжений а) 
; б) 
.
Проведены различные
варианты вычисления в зависимости от
углов наклона плоскости изотропии и горизонтальной скважины
[5].
Анализ результатов, приведенных в наклонном
трансверсально-изоторпном пласте, показывает, что с увеличением количества
конечных элементов в дискретной модели тела, наблюдается совпадение двух
значащих цифр в значениях компоненты перемещения u, нормальных напряжения σ, а также в значениях интенсивности напряжений и
деформаций.
Таким образом, можно получить оценку
напряженного состояние неоднородной (трансверсально-упругой) упругодеформируемой среды при фильтрации в ней жидкости.
Литература.
1. Добрынин В.М. Деформация и изменение физических
свойств коллекторов нефти и газа. –М.:Недра, 1966. -197с.
2. Масанов Ж.К. и др. Статическое и сейсмонапряженное состояние
транспортных подземных сооружений в анизотропном геометрически нелинейном
массиве. – Алматы: Бастау, 2002.-244с
3. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах
деталей тепловых двигателей–Л.:Машиностроение,1983. –212с.
4. Масанов Ж.К. Протранственная задача сейсмостойкости подземных сооружений в складчатом массиве. / дисс. на соиск.уч.степ.д.т.н. – Алма-Ата, 1991.-450с.
5. Ажиханов Н.Т. и др. Влияния фильтрационного
процесса в трансверсально-изотропной деформируемой пористой среде // Вестник
МКТУ им.Х.А.Ясави. Туркестан, 2007. №3(60). С.17-20.
Поступила в редакцию 17.04.2008 г.