Решение задачи об усилении света в нестационарном ВКР при полном фазовом согласовании.
Шамров Николай
Иванович,
доктор физико-математических наук,
Логинов
Дмитрий Викторович,
старший преподаватель кафедры
Технологий программирования математического факультета Мордовского
Государственного Университета им. Н.П.Огарева.
1. Введение.
Наряду со стационарным вынужденным
комбинационным рассеянием (ВКР) [1], имеющим место для импульсов длительностью
много большей времени поперечной релаксации в КР-переходе,
в последнее время большой интерес проявляется к нестационарному,
или переходному ВКР [2]. Оно реализуется в альтернативной ситуации, когда
длительность импульса накачки меньше или сравнима со временем фазовой памяти
рассеивающих молекул. В этом случае отклик системы на внешнее излучение запаздывает,
и ВКР приобретает ряд новых, не присущих стационарному
ВКР, свойств. В условиях слабого истощения накачки [3] усиление входного
стоксового сигнала в переходном ВКР не зависит от
ширины линии КР, меньше усиления стационарного ВКР и определяется полной
энергией импульса, а не его интенсивностью [2]. Эти выводы основываются, прежде
всего, на аналитическом решении соответствующих уравнений. Однако существующее
решение получено без учета антистоксовой компонентой.
В данной работе предлагается аналитическое
решение аналогичной задачи, но с учетом антистоксовой волны. Решение получено
при условии фазового синхронизма возбуждающей, стоксовой и антистоксовой волн.
Рассматривается режим генерации, при котором излучение на смещенных частотах
зарождается в среде вследствие спонтанной эмиссии. Для решения используется широко
известный метод Римана-Вольтерра.
2. Уравнения
модели и их преобразование.
Рассмотрим ВКР лазерных импульсов мощностью 
107 Вт/см2 и
длительностью 
10-11
10-10 с. Для такого излучения населенности уровней
молекул, участвующих в КР, не изменяются [2]. Если, кроме того, длина образца
меньше определенной [5,6], то и возбуждающее излучение
не истощается. В этом случае в пренебрежении эффектом Штарка в одномерном
приближении [7] ВКР описывается системой уравнений [5,6]
, (1)
, (2)
, (3)
где 
– комплексные амплитуды стоксовой (
), антистоксовой (
) и накачивающей (
) волн, фазы которых считаются согласованными, 
– недиагональный элемент коллективной матрицы плотности,
определяющий поляризацию, наведенную в среде, 
– скорость по поперечной релаксации, 
– продольная координата, 
– запаздывающее время (
– скорость волн),
, 
(
– рамановская поляризуемость на
частоте 
(
), 
– концентрация молекул, 
– линейная часть показателя преломления). Поле накачки 
считается заданным и
вещественным.
Будем полагать, что стоксово
излучение подается на образец
, (4)
. (5)
Антистоксово излучение порождается за счет
параметрического взаимодействия накачивающей и стоксовой волн, т.е.
. (6)
Введем преобразование
(7)
В результате уравнения (1)-(3) не содержат
релаксационного члена
, (8)
, (9)
. (10)
Перейдем в уравнениях (8)-(10) к новым
амплитудам полей 
. Тогда эти уравнения примут вид
, (11)
, (12)
. (13)
Легко видеть, что уравнения можно переписать
следующим образом
, (14)
, (15)
где 
– комбинация амплитуд рассеянных волн, 
.
Кроме того, уравнения (1), (2) имеют интеграл
движения,
,
откуда следует
. (16)
Введем новую переменную
. (17)
Величина 
– это энергия импульса накачки к моменту времени 
. С ее использованием уравнение (15) записывается в виде
. (18)
Уравнения (14), (18) сводятся к уравнению 2
порядка. Для этого продифференцируем уравнение (18) по переменной и учтем уравнение
(14).
. (19)
Аналогичное уравнение получается и для поля
. (20)
3. Интегрирование Римана-Вольтерра.
Пусть дано дифференциальное уравнение
, (21)
где 
– переменные и .
Уравнение, сопряженное к уравнению (21), для
дополнительной функции 
в нашем случае совпадает с самим уравнением
. (22)
Рассмотрим область 
, в которой одновременно 
и 
. Тогда
(23)
где
(24)
Рис.1.
Общая форма интегрирования Римана.
Для вычисления контурного интеграла выберем
контур интегрирования в виде отрезка 
, отрезка 
и кривой 
(рис. 1). В этом
случае, принимая во внимание, что
будем иметь
. (25)
Выберем решение уравнения (22), отвечающее
граничным условиям
,
вдоль 
, (26)
вдоль 
.
Тогда общее решение уравнения (21) есть
. (27)
Кривая выбирается так, чтобы удовлетворить граничным условиям для
функции 
. Функция , удовлетворяющая уравнению (22) и граничным условиям (26),
называется функцией Римана для этой задачи.
Вводя автомодельную переменную 
, уравнение (21) можно свести к обыкновенному
дифференциальному уравнению
, (28)
которое, как известно, имеет в качестве
частного решения модифицированную функцию Бесселя 
. Тогда функция Римана, удовлетворяющая условиям (26), есть
, (29)
где 
– координаты точки 
, а 
и 
– текущие координаты вдоль и (
).
При граничных условиях (4)-(6) в качестве
кривой выбирают ломаную 
, где 
, а 
. Тогда решение (27) может быть преобразовано к виду
. (30)
4. Решение уравнений. Обсуждение результатов.
Для записи общего решения уравнения (19) в
формуле (30) в качестве выберем переменную 
, а в качестве – переменную 
. Кроме того, примем во внимание уравнение (18). Тогда
. (31)
Аналогично для решения уравнения (20) примем за
, а за . В результате
. (32)
Выберем теперь точку за начало координат (
). С учетом граничных условий (4)-(6), имеем
, (33)
. (34)
Примем во внимание преобразование (7) и
интеграл движения (16). В этом случае уравнения (33), (34) можно переписать
следующим образом:
(35)
(36)
Если в формулах (35)-(36) использовать явный
вид функции Римана
и ее производной
и учесть, что 
, то окончательно получим
(37)
(38)
Кроме того, с учетом соотношения (16)
(39)
Если рассмотреть случай 
, т.е. положить 
и считать входные
импульсы накачки и Стокса подобными, т.е. принять 
, то интегралы в формулах (37)-(39) можно вычислить
непосредственно.
В формуле (37)необходимо перейти к новой переменной 
и воспользоваться
свойством 
. Таким образом, мы найдем
. (40)
Для поля 
удобно пользоваться не
формулой (38), а выражением (36), откуда сразу получаем
. (41)
С учетом интеграла движения (16),
. (42)
Интенсивность компонент ВКР
, (43)
(44)
Еще раз отметим, что в формулах (40)-(44) величина 
.
При 
решения
для 
, 
и 
будут иметь вид,
аналогичный формулам (40)-(44), но с заменой в них функций Бесселя 
соответственно на 
, а 
– на 
. Решения, подобные выражениям (40)-(44), но для импульса
накачки прямоугольной формы, получены ранее в работах других авторов.
Мы видим, что интенсивность рассеянного света зависит от параметра , энергии импульса и длины системы . При 
спонтанная
эмиссия, возникшая на начальной стадии, быстро затухает с течением времени.
Если 
, т.е. 
, то рассеянное излучение и не затухает, и не усиливается.
Эта ситуация в корне отличается от переходного ВКР в
отсутствии антистоксовой компоненты, когда усиление имеет место всегда [2].
При 
в
случае больших усилений, т.е. 
, пользуясь асимптотическим представлением функции 
, выражения для интенсивности (43), (44) можно записать в
виде
. (45)
Усиление в основном определяется экспоненциальным членом с декрементом 
. Из последней формулы следует, что при полном фазовом
согласовании стоксовой, антистоксовой и возбуждающей волн антистоксов
параметрический процесс играет роль фактора, сдерживающего рост стоксова излучения. Чем больше произведение 
, произведения 
(больше ), тем эффективней протекает процесс стоксовой генерации и
тем меньше интенсивность антистоксова излучения (
). Если 
, то антистоксовым рассеянием можно пренебречь вообще [8]. Зависимость декремента усиления от энергии импульса накачки и длины
образца такая же, как и в случае переходного ВКР с отсутствующей антистоксовой
компонентой [2].
Литература.
1.
В.А.Зубов, М.М.Сущинский,
И.К.Шувалов. Стимулированное комбинационное рассеяние
света // УФН, 1964, т.83, с.197-222.
2.
С.А.Ахманов, К.Н.Драбович, А.П.Сухоруков, А.С.Чиркин. О вынужденном
комбинационном рассеянии в
поле сверхкоротких световых импульсов // ЖЭТФ, 1970, т.59, с.485-499.
3.
D.Ben-Amotz, S.M.George, C.B.Harris. Transient
stimulated Raman scattering in high laser depletion and its effects on vibrational dynamics experiments // Chem. Phys. Lett., 1983, v.97, p.533-537.
4.
P.Курант,
Д.Гильберт. Методы
математической физики. - М.: Гостехиздат, 1951, т.2,
620с.
5.
Н.И.Шамров. Нерезонансное
кооперативное комбинационное рассеяние в протяженной системе // Опт. и спектр., 1984, т.57, с.43-49.
6.
Н.И.Шамров. Эффекты
фазовой релаксации в нерезонансном кооперативном комбинационном рассеянии //
Опт. и спектр., 1984, т.57, с.623-627.
7.
Н.И.Шамров. Нестационарное
вынужденное комбинационное рассеяние: трехмерная модель и метод численного решения
// Мат. модел., 2000, т.12, №1, с.3-12.
8.
Н.И.Шамров. Квазирезонансное
приближение для кооперативного комбинационного рассеяния света // Журн. прикл. спектр., 1996, т.63,
с.91-94.
Поступила в редакцию
10.06.2008 г.