Применение метода анализа размерности для определения собственных частот несущей конструкции вибрационной машины с помощью механически подобной модели.

 

 Пивень Валерий Васильевич,

доктор технических наук, профессор,

Уманская Ольга Леонидовна,

доцент Курганского Государственного Университета.

 

Метод моделирования широко используется при исследовании динамических свойств  элементов конструкций в различных областях современной техники.

В задачи динамики входит определение собственных частот и форм колебаний, при натурных испытаниях это возможно лишь на заключительном этапе разработки объекта, когда внесение изменений в конструкцию затруднительно.

Применение методов физического моделирования позволяет оценивать динамические свойства конструкции экспериментальным путем на механически подобной модели, а затем учитывать эти результаты  в процессе проектирования [2].

Рассмотрим уменьшенную, механически подобную модель вибрационной сепарирующей машины (с габаритными размерами, приведенными на рис. 1) и возможность перехода от параметров модели к соответствующим параметрам конструкции натурального образца.

Для определения динамических параметров модели, в данном случае собственных колебаний несущей рамной конструкции применим метод анализа размерностей [1]. Данный метод устанавливает связь между физическими величинами, основанную на рассмотрении их размерностей.  Однозначное состояние системы определяется минимально возможным количеством размерных и безразмерных переменных и постоянных величин или определяющими параметрами. Основные параметры физического явления включают в себя как определяющие параметры, так и искомые величины.

 

Рис. 1.

Геометрические параметры модели.

 

Для записи матрицы размерности (см. табл. 1) расположим основные параметры в следующей последовательности:

1)       искомая функция – собственные частоты колебаний w;

2) регулируемые определяющие параметры: длина рамы L, высота рамы h, ширина рамы b, площадь поперечного сечения элементов рамной конструкции F, изгибная жесткость элементов рамной конструкции EJ, плотность материала r, начальное отклонение концевого сечения в направлении оси У на величину d, текущие значения прогибов ∆ в момент времени t.

 

Таблица 1.

Матрица размерностей.

	w	L	EJ	F	d	r	t	h	∆	b
Lx	0	0	3	1	0	-1	0	0	0	1
Ly	0	1	0	1	1	-1	0	0	1	0
Lz	0	0	-1	0	0	-2	0	1	1	0
G	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0
T	-1	0	0	0	0	2	1	0	0	0

 

Где G - размерность силы; Т- размерность времени.

При приведении данной матрицы к каноническому виду по известной методике [1], имеем матрицу представленную в таблице 2.

 

Таблица 2.

Матрица размерностей после приведения к каноническому виду.

	b	L	h	EJ	t	w	F	d	r	∆
Lx	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Ly	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Lz	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
G	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
T	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0

 

На основании представленных данных имеем ранг матрицы размерностей v = 5. При числе основных параметров n=10 получаем число безразмерных комплексов k = n – v= 10 – 5 = 5.

Общее выражение для безразмерного отношения представим в виде степенного одночлена:

 

    П = w^X₁ × L^X₂ × (E J)^X₃ × F^X₄ × d ^X₅ × r^X₆ × t ^X₇ × h ^X₈ × ∆^X₉ × b ^X₁₀ ×                        (1)             

 

Пользуясь матрицей размерностей (табл. 1) определим размерность произведения:

 

DimП = (T^-1) ^X₁ × (L_y) ^X₂ × (L_x³ × L_z^-1 × G)^X₃ × (L_x × L _y)^X₄ × (L _y)^X₅ × (L_x ^–1 × L _y ^-1 × L_z^-2 × G × T² )^X₆ × (T)^X₇× (L_z )^X₈ × (L_z )^X₉ × (L_x) ^X₁₀.                                                            (2)

 

C учетом свойств показательной функции:

 

DimП = L_х ^(3X₃ ^{+ Х}₄ ^{– Х}₆ ^{+ Х}₁₀⁾ × L_y  ^(Х₂ ^{+ X}₄ ^{+ Х}₅ ^{– Х}₆⁾ × L_z^{(- Х}₃ ^{- 2Х}₆ ^{+ Х}₈ ^{+ Х}₉⁾ × G^(Х₃^+Х₆⁾ × Т^(Х₇ ^{+ 2Х}₆ ^{– Х}₁⁾.                                                                                                                   (3)

 

По условию безразмерности данного произведения показатели степени должны быть равны 0.

 

3х₃ + х₄ – х₆ + х₁₀ = 0

х₂ + х₄ + х₅ – х₆ = 0

– х₃ – 2х₆ + х₈ + х₉ = 0                                      (4)

х₃ + х₆ = 0

–х₁ +2х₆ + х₇= 0

 

Система имеет 5 уравнений с 10 неизвестными. Считая значения х₁, х₂,  х₃, х₈, х₁₀ произвольными и выражая через них показатели степени х₄, х₅,  х₆, х₇, х₉ найдем

 

х₄ = – х₁₀ – 4х₃

х₅ = х₁₀ + 3х₃ – х₂

х₇ = х₁ + 2х₃                                                      (5)

х₉ =  – х₃ – х₈

х₆ = х₃

 

Для величин х₁, х₂,  х₃, х₈, х₁₀ могут быть назначены любые значения.

Для первого решения независимых безразмерных комбинаций П₁ выбираем х₁= 1, х₂ = х₃ = х₈ =  х₁₀ = 0. Тогда согласно системе (5) х₄ = 0, х₅= 0, х₇ = 1, х₉ = 0, х₆ = 0. Подставляя найденные значения  в выражение (1) получаем П₁= wt.

Для значения второго безразмерного комплекса П₂ принимаем х₂ = 1, х₁= х₃ = х₈ =  х₁₀ = 0. Из системы (5) имеем х₄ = 0, х₅ = –1, х₇ = 0, х₉ = 0, х₆ = 0. Тогда П₂ = L /d.

Для третьего безразмерного комплекса П₃: х₃ = 1, х₁= х₂ = х₈ = х₁₀ = 0, х₄ = – 4, х₅ = 3, х₇ = 2, х₉ = – 1, х₆ = – 1.  П₃ = (ЕJ · d³ · t²) / (F · r · ∆).

Для четвертого безразмерного комплекса П₄: х₈ = 1, х₁ = х₂ = х₃ =  х₁₀ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0, х₇ = 0, х₉ = – 1, х₆ = 0.  П₄ = h / ∆.

Для пятого безразмерного комплекса П₅: х₁₀ = 1, х₁ = х₂ = х₃ = х₈ = 0, х₄ = – 1, х₅ = 1, х₇ = 0, х₉ = 0, х₆ = 0.  П₅= b / F.

Результаты вычислений представим в виде матрицы решений (см. табл. 3).

 

Таблица 3.

Матрица решений.

	w	L	EJ	F	d	r	t	h	∆	b
П1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
П2	0	1	0	0	-1	0	0	0	0	0
П3	0	0	1	-4	3	-1	2	0	-1	0
П4	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	0
П5	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	1

 

В результате тождественных преобразований безразмерных комплексов получим следующие критерии подобия:

П₁^*= П₂³ · П₃= (ЕJ· L³· t²) / (F⁴ · r· ∆);  П₂^* = П₁^*· П₄^-1 = (ЕJ· L³· t²)/(F⁴ · r· h)

П₃^** = П₂^*-1 · П₁² · П₅⁴ = (h ·  b ⁴ · r · w²) / (ЕJ · L³) = idem.

Соответствие между натуральным образцом и моделью будет определяться уравнением

 

       (h₁ ·  b₁ ⁴ · r · w₁²) / (ЕJ₁ · L₁³) = (h₂ ·  b₂ ⁴ · r · w₂²) / (ЕJ₂ · L₂ ³).                (6)

 

Пересчет собственных частот модели  на натуральный образец  производится по формуле

 

         w₂ = w₁ · (b₁/ b₂)² · ((J₂ · L₂ ³ · h₁) / (J₁ · L₁ ³ · h₂))^1/2.                                 (7)  

 

Таким образом,  выражение (7) позволяет определить собственные частоты натурального образца разрабатываемой конструкции через предварительно  полученные экспериментальным путем частоты модели с учетом габаритных размеров и жесткостей элементов несущей конструкции.                   

 

Литература.

 

1.             Шаповалов Л.А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. – М.: Машиностроение, 1990. – 288 с.

2.            Дидух  Б.И. Практическое применение методов теории размерностей и подобия в инженерно-строительных  расчетах / Б.И. Дидух,  И.Б.Каспэ  - М.: Стройиздат, 1975. – 49 с.

 

Поступила в редакцию 6 февраля 2008 г.