Исследование классического решения одной обратной краевой задачи для эволюционного уравнения четвертого порядка, возникающей в гидроакустике стратифицированной жидкости

НА ГЛАВНУЮ

Искендеров Низамеддин Ширин оглу,

доктор физико-математических наук, профессор, декан механико-математического факультета,

Салимова Гюльбахар Абдул гызы,

соискатель.

Бакинский государственный университет.

В работе исследована одна обратная краевая задача для эволюционного уравнения четвёртого порядка, возникающего в гидроакустике стратифицированной жидкости. Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности классического решения. Далее, пользуясь этими фактами, доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

Для уравнения [1, 2]

(1)

в области рассмотрим обратную задачу при граничных условиях

(2)

начальных условиях

, (3)

и дополнительном условии

(4)

где -фиксированное число, , -заданные функции, а и -искомые функции.

Примем следующее

Определение. Классическим решением задачи (1)-(4) назовём пару функций и , обладающих следующими свойствами:

1) функция непрерывна в вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);

2) функция непрерывна на ;

3) все условия (1)-(4) удовлетворяются в обычном смысле.

Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть при ,

Тогда задача нахождения классического решения задачи (1)-(4) эквивалентна задаче определения функций и , обладающих свойствами 1) и 2) определения классического решения задачи (1)-(4), из (1)-(3) и

(5)

С целью исследования задачи (1)-(3), (5), рассмотрим следующие прос-транства. Обозначим через совокупность всех функций вида

рассматриваемых в , где каждая из функций непрерывна на и

, (6)

причём . Норму в этом множестве определим так:

Через обозначим пространство вектор-функций с нормой

Известно, что и являются банаховыми пространствами.

Первую компоненту решения задачи (1)-(3), (5) будем искать в виде

(7)

где

Тогда, применяя схему метода Фурье, из (1) и (2), получаем:

, (8)

(9)

где

Теперь, из (5), с учетом (7), имеем:

. (10)

После применения метода вариации постоянного решения задачи из (8) и (9) находим :

, (11)

где , .

Подставляя из (11) в представление (7), получаем:

. (12)

Теперь из (11) имеем:

(13)

, (14)

(15)

. (16)

Далее, из (11) и (14) видно, что

. (17)

После подстановки выражения из (17) в (10), для определения второй компоненты решения задачи (1)-(3), (5) находим:

. (18)

Исходя из определения решения задачи (1)-(3),(5) доказывается следующая

Лемма 2. Если - любое решение задачи (1)-(3), (5), то функции

удовлетворяют на системе (11).

Нетрудно видеть, что

Теперь, из (11), (13)- (17), соответственно имеем:

Отсюда имеем:

(19)

(20)

(21)

, (22)

(23)

(24)

Предположим, что данные задачи (1)-(3), (5) удовлетворяют следующим условиям:

при .

Тогда из (19)- (24), соответственно, имеем:

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Далее, из (25) находим:

(31)

где

Теперь из (18), с учетом (30), имеем:

(32)

где

Из неравенств (31) и (32) заключаем:

(33)

где

Доказана следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1-4 и

. (34)

Тогда задача (1)-(3), (5) имеет в шаре из единственное решение.

Доказательство. В пространстве рассмотрим уравнение

(35)

где , компоненты оператора определены правыми частями уравнений (12),(18), соответственно.

Рассмотрим оператор в шаре из . Аналогично (33) получаем, что для любых справедливы оценки.

(36)

(37)

Тогда из оценок (36) и (37), с учётом (34), следует, что оператор действует в шаре и является сжимающим. Поэтому, в шаре оператор имеет единственную неподвижную точку , которая является решением уравнения (35).

Функция , как элемент пространства , непрерывна и имеет непрерывные производные .

Из неравенств (26)-(29) следует, что , непрерывны в . Далее, легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (3), (5) удовлетворяются в обычном смысле. Значит, является решением задачи (1)-(3), (5). А в силу леммы 2, это решение единственно в шаре. Теорема доказана.

Таким образом, в силу леммы 1, справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и

Тогда задача (1)-(4) имеет в шаре из единственное классическое решение.

Литература

1. Габов С.А., Малышева Г.Ю., Свешников А.Г. Об одном уравнении составного типа, связанном с колебаниями сжимаемой стратифицированной жидкости. Дифференциальные уравнения, 1983 ,т. 19, №7, с. 1171-1180.

2. Габов С.А., Оразов Б.Б., А.Г. Свешников. Об одном эволюционном уравнении четвёртого порядка, возникающем в гидроакустике стратифицированной жидкости. Дифференциальные уравнения, 1986, т. 22, № 1, с. 19-25.

3. Худавердийев К.И. К теории многомерных смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений.-Дис.. док.физ.–мат.наук, Азгосуниверситет, - Баку, 1973.

4. G.A.Salimova. On a boundary value problem for a fourth order partial differential equation.Transactions of National Academy of Sciences of Azerbaijan, series of physical technical and mathematical and mathematical sciences, 2006, v. XXYI, 7,-pp. 125-138.

Поступила в редакцию 15.04.2009 г.