Признаки делимости
чисел с окончаниями 1, 3, 7, 9
Громова Людмила Фёдоровна.
Введение
Данная работа предлагает
несколько универсальных признаков делимости чисел с 1, 3, 7, 9 на конце.
Например, чтобы определить,
делится ли число на 73, нужно разбить это число на группы по 4 цифры и
поочерёдно их складывать и вычитать.
Если результат делится на 73, то
и число делится на 73.
Так, 2173467897997367 делится на
73, т. к.
2173 – 4678 + 9799 – 7367 = – 73
делится на 73.
В этой статье показано, как
подобным способом определить делимость любого нечетного числа, не
оканчивающегося на 5.
Это один из семи новых
универсальных правил определения делимости, которые представлены в данной
статье.
Глава I. Коэффициент делимости D. Определение
делимости по коэффициенту D.
Для решения
поставленной перед нами задачи введём понятия коэффициента делимости. Каждое
число с окончанием 1, 3, 7, 9 имеет по два коэффициента делимости.
D - первичный коэффициент
делимости
D’ - вторичный коэффициент делимости
Запишем число B
как (10b + 1), (10b + 3), (10b + 7), (10b +
9), где b – количество десятков.
Формулы коэффициентов делимости D и D’:
Число B |
Первичный коэффициент делимости D |
Вторичный коэффициент делимости D’ |
(10b
+ 1) |
(–b) |
(9b + 1) |
(10b
+ 3) |
(3b + 1) |
(–7b –2) |
(10b
+ 7) |
(–3b –2) |
(7b + 5) |
(10b
+ 9) |
(b + 1) |
(– 9b –8) |
D’ = D – B, если D имеет положительное
значение
D’ = D + B, если D имеет отрицательное
значение
При этом D’ и D
всегда имеют противоположные знаки, а сумма их абсолютных величин
равна абсолютной величине B:
| D| + | D’| = |B|
Коэффициенты D и D’
одного и того же числа взаимозаменяемы при проведении тестов на делимость,
которые рассматриваются в нашей статье.
Примеры коэффициентов делимости D и D':
Число (10b
+ 1) |
D (–b) |
D' (9b + 1) |
Число (10b
+ 3) |
D (3b
+ 1) |
D' (–7b –2) |
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
-2 |
11 |
-1 |
10 |
13 |
4 |
-9 |
21 |
-2 |
19 |
23 |
7 |
-16 |
31 |
-3 |
28 |
33 |
10 |
-23 |
41 |
-4 |
37 |
43 |
13 |
-30 |
Число (10b
+ 7) |
D (–3b
–2) |
D' (7b + 5) |
Число (10b
+ 9) |
D (b
+ 1) |
D' (– 9b –8) |
7 |
-2 |
5 |
9 |
1 |
-8 |
17 |
-5 |
12 |
19 |
2 |
-17 |
27 |
-8 |
19 |
29 |
3 |
-26 |
37 |
-11 |
26 |
39 |
4 |
-35 |
47 |
-14 |
33 |
49 |
5 |
-44 |
Используя понятия коэффициентов D и D’, сформулируем первое универсальное правило определения
делимости:
Правило
№ 1:
Число А
делится на B, если А без последней цифры плюс последняя
цифра, умноженная на D или D’, делится на B.
Например:
1. Делится ли
число 738 на 41?
41 = (10b + 1)
D = (– b)
= –4
D’ = (9b + 1) = 37
73 + 8D = 73 + 8(– 4) = 73 – 32 = 41
4141 = 1
73 + 8D’ = 73 + 837 = 73 + 296 = 369
36941 = 9
Да, делится.
2. Делится ли 354 на 59?
59 = (10b + 9)
D = (b
+ 1) = 6
D’ = (– 9b –8) = –53
35 + 4D =
35 + 46 = 35 + 24 = 59
5959 = 1
35 + 4D’ = 35 + 4 (–53) = 35 – 212 = –177
–17759 = –3
Да, делится.
3. Делится ли 428 на 17?
17 = (10b + 7)
D = (–3b –2) = –5
D’ = (7b + 5) = 12
42 + 8D = 42 + 8(–5) = 42 – 40 = 2
(2 на 17 без остатка не делится)
42 + 8D’ = 42 + 812 = 42 + 96 = 138 (138
на 17 без остатка не делится)
Нет, не делится.
Глава
II. Определение делимости по периоду коэффициентов делимости
Используя коэффициенты делимости D, находим ряд остатков по схеме:
D1 = остаток от деления
D1 на число B
D2 = остаток от деления D² на B
D3 = остаток
от деления D³ на B
…
DP = остаток от деления Dр на B
Ряд остатков конечен и циклически повторяется. Это период коэффициентов делимости. Обозначим его {D1, D2,
... DР}.
Длину
периода (количество остатков) обозначим P.
Поскольку
каждое число вида (10b + 1), (10b + 3), (10b +
7), (10b + 9) имеет два коэффициента делимости, D и D’, то и периодов коэффициентов у него тоже два.
D’n = Dn – B, если Dn имеет
положительное значение
D’n = Dn + B, если
Dn имеет отрицательное значение
Например:
1. Число 77 = (10b + 7)
D = (–3b –2) = –23
Первый период коэффициентов:
D1 = остаток от деления (–23)177 = –23
D2
= остаток
от деления (–23)²77 = 67
D3 = остаток от деления (–23)³77 = –1
D4 = остаток от деления
(–23)477 = 23
D5
= остаток
от деления (–23)577 = – 67
D6 = остаток от деления (–23)677 = 1
Начиная
с седьмого остатка цикл повторяется, значит, для числа 77 P = 6.
Второй период коэффициентов:
D’1
= D1 + B = –23
+ 77 = 54
D’2 = D2 – B = 67 – 77 = – 10
D’3 = D3 + B = – 1 +77 = 76
D’4 = D4 – B = 23 – 77 = – 54
D’5 = D5 + B = –67 + 77 = 10
D’6 = D6 – B = 1 – 77 = –76
Итак:
{D1, D2 , ... DР}: –23 + 67 –1 + 23 –67 + 1
{D’1, D’2 , ... D’Р}: 54 –10 +
76 –54 + 10 –76
P = 6
Соответствующие
цифры в обоих периодах во всех наших тестах взаимозаменяемы. Из двух периодов без ущерба
для нашей задачи можно составить любые комбинации, заменяя числа в паре (D’1 и D1, D’2 и D2, D’n и Dn), не меняя
последовательности членов периодов.
Например:
54 + 67 + 76 + 23 + 10 +
1 (только положительные
числа)
–23 –10 –1 –54 –67 –76 (только
отрицательные числа)
–23 –10 –1 + 23 + 10 + 1 (наименьшие по абсолютной величине числа)
И т. д.
Следующее
универсальное правило определения делимости формулируется с использованием понятия периода коэффициентов:
Правило
№2:
Число А
делится на B, если число А без n последних цифр плюс n
последних цифр, умноженных на Dn или D’n, делится на B.
Например:
Делится ли
196096204 на 31?
Для числа (10b + 1) = 31:
D = (– b) = (– 3)
{D1, D2 , ... DР}: –3 +9 –27 +19 –26 +16 –17
+20 –29 +25 –13 +8 –24 +10 –30
{D’1, D’2 , ... D’Р}: 28 –22 +4 –12 +5 –15 +14 –11 +2 –6
+18 –23 +7 –21 +1
P = 15
Применим Правило №2:
1) [19609620 + 4D1]31 = [19609620 + 4(–3)]31 = 632568
[19609620 + 4D’1]31 = [19609620 + 428]31 = 632572
2) [1960962 + 4D2]31 = [1960962 + 49]31 = 63258
[1960962 + 4D’2]31 = [1960962 + 4(-22)]31 = 63254
3) [196096 + 204D3]31 = [196096 + 204(–27)]31 = 6148
[196096 + 204D’3]31 = [196096 + 2044]31 = 6352
4) [19609 + 6204D4] : 31 = [19609 + 620419]31 = 4435
[19609 + 6204D’4]31 = [19609 + 6204(-12)]31 = –1769
5) [1960 + 96204D5]31 = [1960 + 96204(–26)]31 = –80624
[1960 + 96204D’5]31 = [1960 + 962045] : 31 = 15580
6) [196 + 96204D6]31 = [196 + 9620416]31 = 49660
[196 + 96204D’6]31 = [196 + 96204(-15)]31 = –46544
7) [19 + 6096204D7]31 = [19 + 6096204(–17)]31 = –3343079
[19 + 6096204D’7]31 = [19 + 609620414]31 = 85346875
8) [1+ 96096204D8]31 = [1+ 9609620420]31 = 61997551
[1+ 96096204D’8]31 = [1+ 96096204(-11)]31 = –34098653
Все 16 тестов
показывают: да, делится.
Правило
№3
Число A делится
на B,
если число А без n последних цифр плюс n
последних цифр, умноженных на Dn , делится на B.
Например:
1. Делится ли
90369828241 на 7
7 = (10b + 7)
D = (–3b –2) = –2
Если n = 5, то
903698 + 28241(–2)5 =
903698 – 2824132 = –14
–147 = –2
Да, делится.
2. Делится ли
11975009 на 37?
37 = (10b + 7)
D = (–3b –2) = –11
Если n = 3, то
11975 + 009 (–11)3 = 11975 – 9 1331 = –4
Нет, не делится.
В Приложении приведены периоды {D1,
D2 , ... DР} и {D’1, D’2 , ... D’Р} для
чисел от 3 до 99.
Глава
III. Определение делимости по длине периода коэффициентов P
Если число имеет окончание 1, 3,
7 или 9, то при делении 1 на это число получается периодическая десятичная дробь.
Чтобы
найти P числа, не высчитывая весь цикл {D1, D2 , ... DР},
нужно разделить единицу на это число. Количество циклически повторяющихся цифр
в получившейся десятичной дроби равно P
числа.
Например:
1. Для числа 4649 P = 7, т. к.:
14649 = 0, 0002151 0002151 …
2. Для числа 265371653 P = 13, т. к.:
1265371653 = 0, 0000000037683
0000000037683 …
3. Для числа
231 P = 6, т. к.:
1231 = 0, 004329
004329 …
В Приложении
даны P для чисел с окончанием
1, 3, 7, 9.
Правило
№4 :
Чтобы
определить, делится ли число A на число B, нужно разбить делимое А на части по P цифр в каждой, получившиеся числа сложить. Если
результат делится на В, то и
число А делится на В.
В первой слева части количество цифр может быть меньше или равно P. Если в последней части цифр меньше, чем P, то дописать в конце столько нулей, чтобы было P цифр.
Например:
Делится
ли число 6059315457162 на 111?
Для
числа 111 Р = 3,
следовательно, разбиваем делимое в группы по 3:
1) 605 + 931+ 545 + 716 + 200 = 2997
2 + 997
= 999
999111 = 9
Или:
2) 6 + 059 + 315 + 457 + 162 =
999
999111 = 9
Или:
3) 60 + 593 + 154 + 571 + 620 = 1998
1 + 998
= 999
999111 = 9
Да, делится.
Правило
№5 :
Если простое
число В имеет чётное P,
то нужно разбить делимое А на части по половине P цифр в каждой,
получившиеся числа последовательно по очереди складывать и вычитать. Если
результат делится на В, то и
число А делится на В.
В первой слева части количество цифр может быть меньше или равно половине P. Если в последней части цифр меньше, чем половина P, то дописать в конце столько
нулей, чтобы было половина P
цифр.
Например:
1. Делится ли число 69964106514 на 73?
73 – простое число
Р = 8
699 –
6410 + 6514 = 803
803 73 = 11
Да, делится.
2. Делится ли число 1300151524644518 на 101?
101 - простое число
Р = 4
13 – 00
+ 15 – 15 + 24 – 64 + 45 – 18 = 0
Да, делится.
3. Делится ли число 2618 на 11?
11 - простое число
Р = 2
Таким
образом, если поочерёдное сложение и вычитание цифр даёт результат, который
делится на 11, то и всё число делится на 11.
2 –6 + 1 –8 = –11
–11 11 = –1
Да, делится.
Это известный
частный случай применения данного правила.
Правило №5 применимо ко всем простым числам и к
некоторым составным.
Глава
IV. Определение
делимости по полному периоду коэффициентов делимости.
Правило
№6:
Цифры делимого А
(начиная с первой слева) последовательно умножить на цифры периода D1... DP делителя
В (начиная с любой слева
направо, цифры циклически повторять, сколько необходимо), а результаты сложить.
Если сумма делится на В, то А делится на В.
Например: делится ли 437617206 на 39?
39 = (10b + 9)
D = (b + 1) = 4
{D1, D2 , ... DР}: 4 16
25 22 10 1
1. Умножим
последовательно цифры числа 4 3 7 6 1 7 2 0 6 на цифры цикла
4 16 25 22 10 1:
4 3 7 6 1
7 2 0 6
4 16 25 22 10 1 4 16 25
16 48
175 132 10
7 8 0 150
Результаты
сложим:
16 + 48 + 175 + 132 + 10 + 7 + 8
+ 0 + 150 = 546
2. Умножим последовательно цифры
получившегося числа 5 4 6 на цифры цикла 4 16 25 22 10 1 (начиная с любой, например, с пятой):
5 4 6
10 1 4
50 4 24
Результаты
сложим:
50 + 4 + 24 = 78
3. Умножим последовательно цифры
получившегося числа 7 8 на цифры цикла 4 16 25 22 10 1 (начиная с любой, например, с шестой):
7
8
1 4
7 32
Результаты
сложим:
7 + 32 = 39
39 39 = 1
Да, делится.
Правило
№7:
Чтобы
определить, делится ли число A на число B, нужно разбить делимое А на части с произвольным количеством n цифр в каждой. В первой слева части цифр может быть меньше или равно n. Если в последней
части цифр меньше, чем n, то дописать в конце столько нулей, чтобы было n цифр.
Получившиеся числа из n цифр, начиная с первой слева,
последовательно умножить на каждую n-ную по счёту цифру периода {D1, D2, ...DP}, начиная с любой. Результаты сложить. Если
сумма делится на В, то А делится на В.
Например: делится ли 26560068364660420190268 на 17?
17 = (10b + 7)
D = (–3b
–2) = –5
Р = 16
{D1, D2 ... DP}: -5+8-6+13-14+2-10+16+5-8+6-13+14-2+10-16
{D’1, D’2 ... D’Р}: 12-9+11-4+3-15+7-1-12+9-11+4-3+15-7+1
Поскольку соответствующие
цифры в обоих периодах взаимозаменяемы,
составим период из наименьших по абсолютной величине чисел:
-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1
1.
Разбиваем число 26560068364660420190268, например, по 7 цифр:
196 5600683 6466042 0190115
Умножаем последовательно каждую группу из семи цифр на
каждый седьмой член периода (начиная с любого, например, со второго)
-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1-5+8-6-4+3+2-10:
196 5600683 6466042
0190115
8 5 1
-10
1568 28003415 6466042 -1901150
Результаты
сложим:
1568 +
28003415 + 6466042 – 1901150 = 32569875
2. Разбиваем получившееся число 32569875, например, по 4
цифры:
3256 9875
Умножаем последовательно каждую группу из четырёх чисел на
каждый четвёртый член периода (начиная с любого, например, с первого)
-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1:
3256
9875
–5 3
–16280 29625
Результаты
сложим:
29625 – 16280
= 13345
3. Разбиваем получившееся число 13345, например, по 3 цифры (допишем 0 в последней
группе):
133 450
Умножаем последовательно каждую группу из трёх чисел на
каждый третий член периода (начиная с любого, например, с пятого)
-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1:
133 450
3 –1
399 –
450
Результаты
сложим:
399 – 450 =
–51
4. Разбиваем получившееся число –51 по 1 цифре:
Умножаем последовательно каждую группу из одного числа на
каждый первый член периода (начиная с любой, например, с пятой)
-5+8-6-4+3 +2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1:
–5 –1
3 2
–15
–2
Результаты
сложим:
–15 – 2 = –17
–1717 = –1
Да, делится.
Заключение
Итак, мы
рассмотрели несколько универсальных правил определения делимости чисел. Стоит
отметить, что частные случаи приведённых правил использовались ранее для
определения делимости некоторых чисел. В статье же представлены универсальные
системы и формулы, которые позволяют применить эти правила для всех чисел,
оканчивающихся на 1, 3, 7, 9.
Можно
предположить, что дальнейшее изучение периодов чисел может дать новые
возможности в изучении свойств чисел.
Так, в конце Главы III упоминалось, что Правило №5 применимо ко всем простым числам. Составные
числа не все подчиняются этому правилу.
Например:
Числа
91 и 21 составные и имеют одинаковое значение Р = 6.
Делимость на число 91 можно
определить, применив
1. Правило №4 (Сложить
части числа А по P цифр в каждой. Если результат делится на В, то и А делится на В).
Например:
Число 2639002457 делится на 91,
т. к.
2639 + 002457 = 5096 делится на
91 (509691 = 56)
2. Правило №5 (Поочерёдно
складываем и вычитаем части числа А по половине P цифр в каждой.
Если результат делится на В, то и А делится на В).
Например:
Число 2639002457 делится на 91,
т. к.
2 – 639 + 002 – 457 = – 1092
– 109 + 200 = 91 делится на 91
(9191 = 1)
Делимость на число 21 определяются
с применением:
1. Правила №4 (Сложить
части числа А по P цифр в каждой. Если результат делится на В, то и А делится на В).
Например:
Число 12902148 делится на 21, т.
к.
129 + 021480 = 21609 делится на
21 (2160921 = 1029)
2. Не
определяются Правилом №5. (Последовательное сложение и вычитание по 3 цифры):
Например:
Число 79086 делится на 21 (79086
: 21 = 3766), но
79 – 086 = 7 (на 21 не делится)
Исследования
причин неоднородности свойств чётных Р
составных чисел, а также другие свойства периодов коэффициентов будут приведены
в следующей статье.
Приложение.
Периоды коэффициентов делимости
Условные обозначения:
P – длина периода
- (-"-)
– повторяется содержание предыдущей скобки с противоположным знаком. (Делимость
этих чисел может определяться с помощью складывания и вычитания по половине P
цифр).
{D1, D2,... DР}
- полный период первичных коэффициентов делимости
{D’1, D’2,... D’Р}
- полный период вторичных коэффициентов делимости
Число |
{D1,
D2,...
DР} |
P |
{D’1,
D’2,...
D’Р} |
||
11 |
(-1) - (-"-) |
2 |
(10) - (-"-) |
||
21 |
-2+4-8+16-11+1 |
6 |
19-17+13-5+10-20 |
||
31 |
-3+9-27+19-26+16-17+20-29+25-13+8-24+10-30 |
15 |
28-22+4-12+5-15+14-11+2-6+18-23+7-21+1 |
||
41 |
-4+16-23+10-40 |
5 |
37-25+18-31+1 |
||
51 |
-5+25-23+13-14+19-44+16-29+43-11+4-20+49-41+1 |
16 |
46-26+28-38+37-32+7-35+22-8+40-47+31-2+10-50 |
||
61 |
( -6+36-33+15-29+52-7+42-8+48-44+20-59+49-50+56-31+ +3-18+47-38+45-26+34-21+4-24+22-10+60) - ( -"-) |
60 |
(55-25+28-46+32-9+54-19+53-13+17-41+2-12+11-5+30- -58+43-14+23-16+35-27+40-57+37-39+51-1) - (
-"-) |
||
71 |
-7+49-59+58-51+2-14+27-47+45-31+4-28+54-23+19-62+8- -56+37-46+38-53+16-41+3-21+5-35+32-11+6-42+10-70 |
35 |
64-22+12-13+20-69+57-44+24-26+40-67+43-17+48-52+9-63 +15-34+25-33+18-55+30-68+50-66+36-39+60-65+29-61+1 |
||
81 |
-8+64-26+46-44+28-62+10-80 |
9 |
73-17+55-35+37-53+19-71+1 |
||
91 |
( -9+81-1)-(-"-) |
6 |
(82-10+90) (-"-) |
||
3 |
1 |
1 |
-2 |
||
13 |
(4+3+12) - (-"-) |
6 |
(-9-10-1) - (-"-) |
||
23 |
(7+3+21+9+17+4+5+12+15+13+22) - (-"-) |
22 |
(-16-20-2-14-6-19-18-11-8-10-1) - (-"-) |
||
33 |
10+1 |
2 |
-23-32 |
||
43 |
13+40+4+9+31+16+36+38+21+15+23+41+17+6+35+25+ +24+11+14+10+1 |
21 |
-30-3-39-34-12-27-7-5-22-28-20-2-26-37-8-18-19-32- -29-33-42 |
||
53 |
16+44+15+28+24+13+49+42+36+46+47+10+1 |
13 |
-37-9-38-25-29-40-4-42-17-7-6-43-52 |
||
63 |
19+46+55+37+10+1 |
6 |
-44-17-8-26-53-62 |
||
73 |
(22+46+63+72) - (-"-) |
8 |
(-51-27-10-1) - (-"-) |
||
83 |
25+44+21+27+11+26+69+65+48+38+37+12+51+30+3+75+ +49+63+81+33+78+41+29+61+31+28+36+70+7+9+59+ +64+23+77+16+68+40+4+17+10+1 |
41 |
-58-39-62-56-72-57-14-18-35-45-46-71-32-53-80-8-34-20-2- -50-5-42-54-22-52-55-47-13-76-74-24-19-60-6-67-15-43-79- -66-73-82 |
||
93 |
28+40+4+19+67+16+76+82+64+25+49+70+7+10+1 |
15 |
-65-53-89-74-26-77-17-11-29-68-44-23-86-83-92 |
||
7 |
(-2+4-1) - (-"-) |
6 |
(5-3+6) - (-"-) |
||
17 |
(-5+8-6+13-14+2-10+16) - (-"-) |
16 |
(12-9+11-4+3-15+7-1) - (-"-) |
||
27 |
-8+10-26 |
3 |
19-17+1 |
||
37 |
-11+10-36 |
3 |
26-27+1 |
||
47 |
(-14+8-18+17-3+42-24+7-4+9-32+25-21+12-27+2-28+16- -36+34-6+37-1)-(-"-) |
46 |
(33-39+29-30+44-5+23-40+43-38+15-22+26-35+20-45+19- -31+11-13+41-10+46)-(-"-) |
||
57 |
-17+4-11+16-44+7-5+28-20+55-23+49-35+25-26+43-47+1 |
18 |
40-53+46-41+13-50+52-29+37-2+34-8+22-32+31-14+10-56 |
||
67 |
-20+65-27+4-13+59-41+16-52+35-30+64-7+6-53+55-28+ +24-11+19-45+29-44+9-46+49-42+36-50+62-34+10-66 |
33 |
47-2+40-63+54-8+26-51+15-32+37-3+60-61+14-12+39-43+ +56-48+22-38+23-58+21-18+25-31+17-5+33-57+1 |
||
77 |
(-23+67-1) - (-"-) |
6 |
(54-10+76) - (-"-) |
||
87 |
-26+67-2+52-47+4-17+7-8+34-14+16-68+28-32+49-56+64- -11+25-41+22-50+82-44+13-77+1 |
28 |
61-20+85-35+40-83+70-80+79-53+73-71+19-59+55-38+ +31-23+76-62+46-65+37-5+43-74+10-86 |
||
97 |
(-29+65-42+54-14+18-37+6-77+2-58+33-84+11-28+36-74+ +12-57+4-19+66-71+22-56+72-51+24-17+8-38+35-45+44- -15+47-5+48-34+16-76+70-90+88-30+94-10+96) - (-"-) |
96 |
(68-32+55-43+83-79+60-91+20-95+39-64+13-86+69-61+ +23-85+40-93+78-31+26-75+41-25+46-73+80-89+59-62+ +52-53+82-50+92-49+63-81+21-27+7-9+67-3+87-1)
- (-"-) |
||
9 |
1 |
1 |
-8 |
||
19 |
(2+4+8+16+13+7+14+9+18) - (-"-) |
18 |
(-17-15-11-3-6-12-5-10-1) - (-"-) |
||
29 |
(3+9+27+23+11+4+12+7+21+5+15+16+19+28) - (-"-) |
28 |
(-26-20-2-6-18-25-17-22-8-24-14-13-10-1) - (-"-) |
||
39 |
4+16+25+22+10+1 |
6 |
-35-23-14-17-29-38 |
||
49 |
(5+25+27+37+38+43+19+46+34+23+17+36+33+18+41+ +9+45+29+47+39+48) - (
-"- ) |
42 |
(-44-24-22-12-11-6-30-3-15-26-32-13-16-31-8- -40-4-20-2-10-1) - (-"-) |
||
59 |
(6+36+39+57+47+46+40+4+24+26+38+51+11+7+42+16+ +37+45+34+27+44+28+50+5+30+3+18+49+58) -
(-"-) |
58 |
(-53-23-20-2-12-13-19-55-35-33-21-8-48-52-17-43-22-14- -25-32-15-31-9-54-29-56-41-10-1) -
(-"-) |
||
69 |
7+49+67+55+40+4+28+58+61+13+22+16+43+25+37+ +52+19+64+34+31+10+1 |
22 |
-62-20-2-14-29-65-41-11-8-56-47-53-26-44-32-17-50-5- -35-38-59-68 |
||
79 |
8+64+38+67+62+22+18+65+46+52+21+10+1 |
13 |
-71-15-41-12-17-57-61-14-33-27-58-69-78 |
||
89 |
(9+81+17+64+42+22+20+2+18+73+34+39+84+44+40+4+ +36+57+68+78+79+88) -
(-"-) |
44 |
(-80-8-72-25-47-67-69-87-71-16-55-50-5-45-49-85-53-32- -21-11-10-1) - (-"-) |
||
99 |
10+1 |
2 |
-89-98 |
Литература
1.
Divisibility Rules and Tests. http://www.mathwarehouse.com/arithmetic/numbers/divisibility-rules-and-tests.php.
2.
Н. Н. Воробьёв,
Признаки делимости, «Популярные лекции по математике»,
Выпуск
Поступила в редакцию 25.11.2009 г.