Применение метода «геометрическое место
точек» на уроках геометрии
Алышов
Монсум Адиль оглу,
кандидат педагогических наук, доцент.
Азербайджанский государственный
педагогический университет.
Изучение геометрии в школе, по
сравнению с другими предметами естественного цикла, не находится на желаемом
уровне. На это имеется ряд причин: продолжается усовершенствование приемлемого
содержания школьного курса геометрии, а также новых форм и методов его
преподавания. Хотя в области преподавания геометрии большими возможностями
обладают компьютерные технологии. Однако, как реализовать программные
требования и достичь активизации учащихся на уроках геометрии, во многом зависит
и от учителя.
Традиционное понятие
«геометрическое место точек» в результате построения школьного курса математики
на теоретико-множественной основе в начале 70-х годов ХХ века, приобрела форму,
как «множество точек, обладающих данным свойством». Однако на практике
теоретико-множественный подход построения школьного курса математики оказался
несостоятельным. Поэтому традиционное название «геометрическое место точек»
опять вошло в содержание геометрии – как метод решения задач. При изучении математики
учебные задачи играют важную роль и содействуют развитию математического мышления
учащихся.
В отличие от других
математических понятий, геометрические понятия, имея определения, сопровождаются
и конкретными наглядными образами. Изучение школьной геометрии начинается с
понятий. Такая особенность геометрических понятий содействуют лучшему их
усвоению и учебного материала.
Применение метода геометрических
мест сводит данную задачу к задаче на определение точки или нескольких точек,
каждая из которых обладает свойством тех г.м.т., пересечением которых она
является. Поэтому, чтобы построить искомую точку, сначала строят г.м.т.,
удовлетворяющее только первому условию, а потом – г.м.т., удовлетворяющее
только второму условию. Точки пересечения построенных г.м.т., являются искомыми.
Метод геометрического места точек
целесообразно применять в тех случаях, когда задача расчленяется на две
независимые, каждая из которых в отдельности определяет г.м.т., построение,
которых известно [2, 71]. Это понятие играет важную роль для успешного изучения
учебного предмета геометрии и для развития пространственного мышления учащихся,
в основном при решении задач.
Как показывает школьный опыт, у
старшеклассников и у абитуриентов часто обнаруживается низкий уровень
пространственных представлений. Они испытывают затруднения при установлении
отношений между геометрическими фигурами на плоскости и в пространстве, при
решении геометрических задач, когда исходной позицией является знание
определения или свойства той или иной геометрической фигуры.
Известно, что систематический
курс геометрии VII-IX классов содержит основную (большую) часть геометрических
понятий. Это большая нагрузка для учащихся данных классов. Для успешного
изучения геометрических понятий учителя применяют разные подходы, активные
методы. К мыслительным операциям относятся и наблюдение, сравнение.
При сравнении ученик добывает
новые знания, что очень важно при изучении новых понятий. К этому можно отнести
разные определения одной и той же понятии. «Геометрическое место точек» в этом
смысле – является определением геометрической фигуры, выраженной в
нетрадиционной форме определения понятия. Например, «какую фигуру образует
множество точек с данным свойством» или «найти геометрическую место точек,
удаленных на расстоянии, а от данной точки на плоскости».
Курс геометрии снабжен системами
задач, решения которых содействуют лучшему изучению геометрических понятий.
Однако, задачи на «геометрическое место точек» отличаются тем, что требования
таких задач заставляют ученика мысленно представить искомую фигуру, причем,
перебирая разные варианты. Такая дидактическая функция является ведущей для
задач данного назначения.
Вопрос – развитие
пространственных представлений детей начинающихся еще с детского сада находит
свое продолжение в подготовительном курсе геометрии (I-VI классов).
При изучении курса
(систематического) геометрии VII класса, ученики растеряют и углубляют свои
знания о геометрических фигурах, знакомятся с новыми фигурами и со многими
важными и интересными их свойствами уже известных им фигур. В процессе изучения
геометрии они знакомятся с такими понятиями: «аксиома», «теорема», «доказательство
теоремы». Главное – эти знания закрепляются на практике, в том числе, при решении
соответствующих задач.
Мы в своей учительской практике
постарались, чтобы в процессе ознакомления учеников с новым понятием:
1)
выделить
определения понятия, указать (демонстрировать) соответствующий образ искомой
фигуры;
2)
выразить
данное определение понятия в обратной форме с применением метода « геометрическое
место точек».
Последняя формулировка играет
роль задачи, для решения которой ученики применяют выученные определенные
понятия.
Приведет конкретные примеры:
I.
Угол -
это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из
этой точки.
II.
Луч,
исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется
биссектрисой угла [2, с.12].
К этому определению, после
тренировочных упражнений можно сопоставить следующие задачи:
1)
«найти
множество точек, равноудаленных от сторон данного угла»;
2)
«найти
геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла».
Ш. После изучения понятия угла,
определяется «После изучения понятия угла, определяется «прямой угол»: «Угол
называется прямым, если он равен 900 (с.19, там же).
Далее определяется
«перпендикулярные прямые»: «Две пересекающие прямые называются перпендикулярными
(или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла [2, с.22].
IV. После ознакомления понятием
«окружность», появляется возможность применять задач на « геометрическое место
точек». Окружность определяется следующим образом: «Окружностью называется геометрическая
фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной
точки» [2, с.42].
Определяются элементы окружности.
Сопоставляем определению окружности следующее: «Геометрическое место точек,
равноудаленных от одной точки, называется окружностью». Это определение нагляднее
первого, так как выражение «геометрическое место» наводит на мысль, как
расположены эти точки.
С применением циркуля и линейки
рассматриваются задачи на построение:
1)
на данном
луче от его начала отложить отрезок, равный данному;
2)
построение
угла, равного данному;
3)
построение
биссектрису данного угла;
4)
построение
перпендикулярных прямых;
5)
построение
середины отрезка.
После построения серединного
перпендикуляра к отрезку, можно предложить следующую задачу: «Найти
геометрическое место точек серединного перпендикуляра к отрезку».
По теме «Взаимное расположение
двух окружностей» можно предложить следующую задачу:
«Постройте точки, находящиеся на
расстоянии а от данной точки А и на расстоянии в от данной точки
В. При каком условии задача: 1) имеет решение; 2) не имеет решения?»
Эту задачу можно сформулировать следующим
образом: «Найти геометрическое место точек, находящиеся на расстоянии а от
данной точки А и на расстоянии в от данной точки В. При каком условии
задача: 1) имеет решение; 2) не имеет решения?»
В этой задаче два требования и
поэтому ее решение требует дополнительного объяснения для семиклассников:
каждое требование нужно формулировать отдельно, геометрическое место точек построить
в отдельности. Искомые точки находятся как пересечении двух точечных множеств.
Ученики и наглядно убеждаются,
что если окружности не имеют общих точек, то задача не имеет решения.
После изучения теоремы о серединном
перпендикуляре можно предложить следующие задачи:
Задача 1. Построить точки,
принадлежащие данной окружности и равноудаленные от данных точек А и В.
Задача 2. Найдите геометрическое место
точек, принадлежащих данному кругу и равноудаленных от данных точек А и В.
В этих двух задачах точки А и В
по отношению к окружности и кругу могут расположиться так, что задачи не будут
иметь решения. Например, когда серединный перпендикуляр не имеет общей точки с
окружностью (кругом).
Можно предложить следующие
задачи:
Задача 3. Найти геометрическое место
центров окружностей, проходящих через две данные точки.
Задача 4. На данной прямой МN
найти точку, равноудаленную от двух данных точек А и В, не лежащих на данной
прямой.
По теме «Свойства биссектрисы
угла» можно решить задачу конструктивного характера:
«Построить несколько точек,
равноудаленных от сторон угла АВС, и на прямой МN, пересекающей стороны данного
угла АВС, найти точку, одинаково удаленную от сторон этого угла».
В этой задачи два требования:
1) искомые несколько точек –
находятся на биссектрисе угла АВС;
2) искомая единственная точка –
является точкой пересечения прямой МN с биссектрисой угла АВС.
По теме «Взаимное расположение
прямой и окружности» приведем три задачи:
Задача 1. Найти геометрическое
место центров окружностей, касающихся сторон данного угла».
Решение этой задачи опирается на
определения окружности и биссектрисы угла.
Задача 2. Какую фигуру образует
геометрическое место точек, для любой из которых касательные, проведенные к
данной окружности, имеют одну и ту же длину а?
Для решения этой задачи ученик
может рассуждать так: касательные, проведенные из одной точки к окружности
равны. Обратная задача – по одинаковой длине касательных определяем
местонахождения таких точек. Искомое геометрическое место точек – есть окружность,
концентричная данной окружности (рис. 1).
Рис. 1.
Задача 3. Три села А, В и С – не
лежат на одной прямой. Как надо провести прямую дорогу из А так, что бы села В
и С отстояли от нее на одном и том же расстоянии?
Задачи 4. Найти геометрическое
место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.
Решение этой задачи опирается на
теорему: «Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу этой
окружности» (рис.2).
Рис. 2.
Задача 5. Найти геометрическое
место центров окружностей, которые касаются данной окружности в данной точке А.
Решение этой задачи приводит
учащихся к заключению, что если различные окружности в какой-то точке касаются
прямой или окружности, то их центры лежат на одной прямой (рис.3).
Рис. 3.
В заключении уместно привести
цитату Д. И. Перепелкина: « Понятия о геометрическом месте – одно из важнейших
в геометрии. Оно играет роль не только в таких вопросах, как геометрические
задачи на построение. Не меньшее значение оно имеет в аналитической геометрии,
где применение этого вопроса позволяет простым и доступным способом получить
наглядное представление о различных кривых».
Литература
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия:
7-9 классы. М., 1979.
2. Василевский А.Б. Методы
решения геометрических задач. Минск, 1969.
3. Методика преподавания
геометрии в старших классах средней школы /Под ред. А.И. Фетисова. М., 1967.
4. Колмогоров А.Н. Геометрия для
6-8 классов. М., 1979.
5. Перепелкин Д.И. Геометрические
построения в средней школе. М., 1953.
Поступила
в редакцию 19.11.2009 г.