Об одной нелокальной краевый задаче для
одного уравнения Буссинеска четвертого порядка
Мехралиев
Яшар Топуш оглу,
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры дифференциальных уравнений, заместитель декана
механико-математического факультета Бакинского государственного университета,
Гардашова
Фарида Расул гызы,
преподаватель строительного колледжа при
Азербайджанском архитектурно-строительном университете.
В работе исследуется нелокальная
краевая задача для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.
Сначала доказывается теорема о едилетвенности классического решения. Далее,
методом разделения переменных строится классического решение в ясном виде.
В области 
рассмотрим уравнение
(1)
при обычных локальных граничных
(2)
и нелокальных краевых
,
(3)
условиях, где 
заданные числа, 
- заданные функции, а 
- искомая функция.
Определение. Под
классическим решением задачи (1) – (3) понимаем функции непрерывного в
замкнутой области ДТ-
вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1) и удовлетворяющую
всем условиям (1) – (3) в обычном смысле.
Для изучения вопроса
единственности классического решения задачи важную роль играет следующая
Лемма [2]. Пусть 
, 
при любом 
и 
. Тогда 
при любом .
Теорема 1. Если 
, то задача (1) – (3) не может иметь более одного классического
решения.
Доказательство.
Доказательство этой теоремы проводится по следующей схеме [1]. Допустим, что
существуют две классических решения рассматриваемой задачи 
и 
. Рассмотрим разность 
.
Очевидно, что функция 
. Удовлетворяет однородному уравнению
ДТ) (4)
и условиям
, (5)
. (6)
Докажем, что функция тождественно равна
нулю. Для этого умножим обе части уравнения (4) на функцию 
и проинтегрируем полученные
равенства по х от 0 до 1:
(7)
Использую граничные условия (5) будем
иметь:
,
,
.
Тогда из (7) , имеем:
.
Примем обозначение
.
Очевидно, что
.
.
Таким образом, функция 
удовлетворяет всем
условиям леммы. Следовательно, в силу леммы она тождественно равна нулю:
.
Из этого тождества заключаем, что
, 
.
Отсюда получаем
Теперь же пользуясь нелокальными
условиями (6), будем иметь
.
Следовательно, с=0, ибо 
. Тем самым доказано, что 
.
Таким образом, если существуют
два решения и задачи (1) – (3) , то 
. Отсюда следует, что если решение задачи (1) – (3)
существует, то оно единственное. Теорема доказана.
Очевидно, что необходимым
условием существования непрерывного в ДТ-
решения является выполнение условии согласования
.
Так как система 
полна в 
, то каждое классическое решение задачи (1) – (3) будем
искать в виде
, (8)
где 
Применяя метод Фурье, из (1), (3)
получим:
(9)
, 
(10)
где
Предположим, что 
. Тогда решая задачу (9), (10), находим:
+
(11)
, 
.
Дифференцируя (11) два раза,
получим:
, (12)
(13)
Нетрудно видеть, что
,
.
Учитывая эти оценки, из (11),
(12), (13) соответственно имеем:
,
.
Отсюда имеем:
(14)
(15)
(16)
Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть 
и
1. 
2. 
3.
, 
Тогда
(17)
является классическим решением
задачи (1) – (3).
Доказательство. Принимая во
внимание условия теоремы 2 из (14), (15) и (16) соответственно получим:
(18)
(19)
(20)
Очевидно, что
(21)
(22)
(23)
Из (21) – (23), с учетом (18) –
(20), следует, что функции 
- непрерывны в ДТ.
Непосредственной проверкой легко видеть, что функция удовлетворяет
уравнению (1) и условиям (2), (3) в обычном смысле. Теорема доказана.
Литература
1. Смирнов В.И. Курс высшей
математики, Т. V. М.
1957.
2. Мегралиев Я.Т. Об Одной
нелокальной краевой задаче для псевдогиперболического уравнения третьего
порядка // Вестник Бакинского государственного университета, серия физико-математических
наук, 2008, №1, с. 84 – 91.
Поступила
в редакцию 26.02.2010 г.