Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения колебаний стержня

 

Салимова Аферим Абдул гызы,

старший методист отдела магистратуры Азербайджанской государственной нефтяной академии.

 

            В работе исследуется нелокальная краевая задача для уравнения колебаний стержня. Сначала доказывается теорема о единственности классического решения. Далее, методом разделения переменных строится классическое решение в явном виде.

 

В области  рассмотрим уравнение [1]

                                                                                       (1)

и обычных локальных граничных

                                   (2)

 и нелокальных краевых

,               (3)

условиях, где - заданное число, - заданные функции, а - искомая функция.

            Определение. Под классическим решением задачи (1)-(3) понимаем функцию , непрерывную в замкнутой области  вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1) и удовлетворяющую всем условиям (1)-(3) в обычном смысле.

            Теорема 1. Если , то задача (1)-(3) не может иметь более одного классического решения.

            Доказательство. Доказательство этой теоремы проводится по следующей схеме [2]. Допустим, что существуют два классических решения рассматриваемой задачи  и . Рассмотрим разность

.

Очевидно, что функция , удовлетворяет однородному уравнению

                                                               (4)

и условиям

,                                    (5)

.                            (6)

            Докажем, что функция  тождественно равна нулю. Для этого умножим обе части уравнения (4) на функцию  и проинтегрируем полученное равенство по  от 0 до 1:

.                                            (7)

            Используя граничные условия (5) будем иметь:

 

            Тогда, из (7) имеем:

 

или

 .

            Отсюда, с учётом (6), получаем:

 .

            Таким образом

 .

Так как , то . Следовательно,

 .

Из этого тождества заключаем, что

 .

Отсюда следует

 .

Теперь же, пользуясь нелокальными условиями (6), будем иметь:

 .

Следовательно,  ибо .

Тем самым доказано, что .

Таким образом, если существуют два решения  и  задачи (1)-(3), то . Отсюда следует, что если решение (1)-(3) существует, то оно единственное. Теорема доказана.

Очевидно, что необходимым условием существования непрерывного в  решения является выполнение условий согласования

 

Так как система  полна в , то каждое классическое решение задачи (1)-(3) будем искать в виде:

,                                      (8)

где

 .

            Применяя метод Фурье, из (1), (3) получаем:

,                                       (9)

 ,                          (10)

где

 ,

 , .

            Решая задачу (9), (10), находим:

 

,                                                       (11)

где

 .

            Дифференцируя (11) два раза, имеем:

 

,                                                            (12)

 

.                                                        (13)

            Нетрудно, видеть, что

 .

            Далее, из (11), (12), (13) соответственно находим:

 ,

 ,

 

            Отсюда имеем:

 

,                                           (14)

 

,                                           (15)

 

.                                           (16)

            Справедлива следующая

            Теорема 2. Пусть  и

1. ,

 ;

2. ,

 ;

3. ,

 

            Тогда функция

 

                                        (17)

является классическим решением задачи (1)-(3).

            Доказательство. Принимая во внимание условия теоремы 2, из (14), (15) и (16) соответственно получаем:

 

,                                                        (18)

 

,                                                        (19)

 

.                                                        (20)

            Очевидно, что

,                                            (21)

,                                      (22)

,                                            (23)

.                                           (24)

            Из (21)-(24), с учётом (18)-(20), следует, что функции ,  и  непрерывны в . Непосредственной проверкой легко видеть, что функция  удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2),(3) в обычном смысле. Теорема доказана.

 

Литература

 

1.                   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Москва, 1972.

2.                   В.И.Смирнов. Курс высшей математики, т.V. М.: Москва, 1957.

 

Поступила в редакцию 22.07.2010 г.