О теореме Ферма и её доказательстве

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета.

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

доцент ЧУО «БИП ‑ институт правоведения», г. Минск.

Как известно, суть теоремы Ферма состоит в том, что при натуральных n  3 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет решений в целых положительных числах. Прошло не одно столетие, когда она была высказана, многие выдающиеся математики пытались её доказать. Наибольших выдающихся результатов в этом направлении достиг Куммер, который доказал, что указанная теорема верна тогда, когда простой нечётный показатель степени р не делит числителей чисел Бернулли [2].

В 1995 году вышла обширная статья [17], в которой сообщалось о доказательстве указанной теоремы. После этого появилось множество статей, в которых также рассматривалось приведенное в [17] доказательство. Однако в литературе [4, 5] также появились данные, что в [17] содержится принципиальная математическая ошибка. В работе [11] также показано, что теорема Рибета и теорема Мазура (предложение 4) не могут быть одновременно верны, так как представление ρ_i не может быть одновременно модулярным и не модулярным уровня N / ρ_i, то есть пришли к противоречию. Значит, теорема 11 в [12], из которой следует связь теоремы Ферма с гипотезой Таниямы не является верной, теорема Рибета находится в противоречии с предложением 4.

Об ошибочном доказательстве теоремы П.Ферма Уайлзом имеются также сведения и в других источниках. Теорема Ферма сформулирована для целых положительных числах, а поэтому её доказательство должно явно указывать на новые и существующие свoйства целых чисел, которые углубляли бы их теорию. Ошибка заключается в том, что гипотетическое решение уравнения Ферма одновременно является решением алгебраического уравнения 3-й степени. Это в действительности было бы так, если бы указанная кривая являлась бы эллиптической. Однако кривая представлена в нелинейных координатах, что означает факт не существования её в линейном топологическом пространстве. Если обратиться к линейным координатам эвклидова пространства, то получаются формулы, отличные от эллиптических кривых. При этом отрезки эвклидовой прямой при сложении точек на такой эллиптической кривой взяты в нелинейном масштабе.

При рассмотрении числа в качестве операторов при сравнении с переменными, то они должны быть однородными величинами, т.е. иметь одинаковые степени. Это означает, что при линейных координатных системах евклидова пространства получим отличные формулы, характерные для эллиптических кривых. Анализ работы [17] показывает, что ошибка основана на предположении о том, что решение уравнения Ферма одновременно является и решением алгебраического уравнения 3^й степени, описывающего эллиптическую кривую известного вида при условии, если бы она в действительности была эллиптической. Но так как указанная кривая представлена в нелинейных координатах, то она реально не существует в линейном топологическом пространстве. Поэтому невозможно правдоподобно представить указанную зависимость, так как нет соответствия между кривой Ферма и модулярными эллиптическими кривыми. Возникает противоречие.

Уайлс [17] представил гипотетическое уравнение Ферма xⁿ+yⁿ=zⁿ в виде группового сложения целых чисел: xⁿ+yⁿ+zⁿ=0, где xⁿ,yⁿ,zⁿ – элементы аддитивной группы 3-го порядка, имеющей обратные элементы. Эта группа изображена на диаграмме [6]. В чертеже цифры 1,2,3 соответствуют элементам группы, а стрелки между ними указывают на симметричные повороты в кольце преобразований. Причём основание группы равно 4 (количество имеющихся цифр 0, 1, 2, 3). Фреем и Уайлсом произвольно без доказательства предполагается, что рассматриваемая группа реализуется на точках (элементах) проективной эллиптической кривой, когда это второе предположение (после 1-го, когда уравнение Ферма записывалось в целых числах). Это означает, что в приведенном Уайлсом доказательстве теоремы Ферма не доказано, что элементами группы уравнения xⁿ+yⁿ=zⁿ являются отрезки прямых (точки на эллиптической кривой), а не какие-либо нелинейные элементы.

В отношении существования доказательства самим Фермой своей теоремы следует заметить, что не существует никаких литературных источников, в которых великий Ферма доказал свою теорему. Поэтому все высказывания о доказательстве самим Ферма высказанной им теоремы не имеют никакой основы, так как это попросту домысел. Нужны литературные источники, в которых доказательство теоремы было изложено самим Ферма.

В настоящее время, кроме «доказательства» теоремы Ферма в [17], появились и другие, изложенные в [15, 3, 14, 13, 1, 16, 7]. В указанных работах приведены «доказательства» теоремы Ферма, в которых содержатся ошибки, имеются неточности, делаются произвольные необоснованные допущения, поэтому её доказательствами по сути дела не являются.

Нами предложен новый метод сравнения чисел, т.е. сравнение по ненулевому рациональному модулю [8, 9], которое имеет особое значение для математики в доказательстве многих высказанных предложений.

В [10] нами показан новый подход к оценке величины комплексных чисел в сравнении с обычными натуральными числами.

Известно [2], что Куммер поставил проблему, заключающуюся в разложении на простые сомножители чисел вида a₀ +a₁ +а₂ ² +…+а_р-1 ^р-1 , где а₀ , а₁,…, а _р-1 - целые, то есть проблему разложения круговых целых. Эта проблема решаема, если применить предложенный нами способ приведения комплексных чисел к новой системе [10], a затем уже в таком случае теорема Ферма доказывается без всяких осложнений, так как соблюдается единственность разложения уравнения хⁿ + yⁿ = zⁿ ( n 3), но этого можно и не делать, если учесть предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю [8, 9]. Это означает, что при делении р на v, где р-иррегулярное число, v – регулярное число ( р выбрано большим v), получается дробное число f большее 1.

Из [2] известны свойства сравнения , т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа , если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с и а и b при делении на их на c дают одинаковые остатки.

Нами показано [10], что всякое натуральное число сравнимо по ненулевому рациональному модулю независимо от того делится или не делится а на k (а,так как это аналогично сравнению а ( в нашем случае b=0), с может быть целым или дробным числом >1 (с=а:k). При этом k может принимать значения 2,3,…,а-1 и возникать частный случай, когда а:k=c – целое или дробное число > 1. Это означает, что а, где (а-b):c=f, где f-целое или дробное число >1, с=2,3,…,(а-b)-1.

Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение, т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел.

Проиллюстрируем на обычном числовом примере: 350(mod 5)(mod); 350(mod 3)0(mod ), где f может быть дробным или целым числом >1 (c=2,3,…,34; a=35; a:c=f).

Таким образом, классы сравнения по ненулевому рациональному модулю можно складывать, перемножать очевидным образом, как это описано в литературе [2, 17, 5].

Если B_m (число числителя чисел Бернулли) делится на иррегулярное р, то имеем В_m: a₁= p (где а₁ – целое число от деления числителя чисел Бернулли). В случае, если В_m: a₂=p (где а₂ – дробное число > 1 от деления числителя чисел Бернулли В_m на р), если число р было бы регулярным, но в обоих случаях В_m : (В_m: p) = p не зависимо от того р делит или не делит В_m, то есть является ли число f > 1 дробным или целым числом (f=B_m: p). Это также означает, что B_m  0 (mod B_m ; p)  0 (mod f ), где f принимает частные случаи, то есть может быть целым или дробным числом >1(сравнение по ненулевому рациональному модулю). В опубликованных нами работах [8-10] дано обоснование сравнения по нулевому рациональному модулю и показаны его свойства. Этим и всё сказано о подлинности теоремы Ферма и бесконечности регулярных простых чисел, так как число иррегулярных простых чисел бесконечно [2].

Обобщая имеющиеся источники и полученные нами данные [1-17] , предлагается следующее.

1. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение (х-у)^.(х+у)^.(х²+ху + у²) ^… (х^n-1+ x^n-2 y +… + у^n-2 x + y^n-1 ) = zⁿ ( xy0; n3; n – простое число ).

2. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение 2^.3^…(х-1)^.х - 2^.3^…(у-1)^.у =zⁿ в целых числах (х>у; n 3; n-простое число).

3. Доказать, имеет ли решение уравнение х^n-1+x^{n -2}y+^…+y^n-2x+y^n-1=z^n-1 в целых числах (n-простое число5, xy 0). При п=3 и х=5, y=3 равенство выполняется.

4. Доказать, имеет ли решение уравнение хⁿ +x^n-1y+^…+y^n-1x+yⁿ=z^m в целых числах (mn; m,n3; x y0)

5. Доказать, может ли сумма двух чисел a и b (a > b) быть степенью n третьего целого числа c (a+b=cⁿ), если они имеют обратный порядок расположения цифр (n3).

6. Доказать, может ли уравнение xⁿyⁿ+s^pt^k=z^h иметь решения в целых числах при n, h,m,n,p,k3 – простые числа, xyst0.

7. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

8. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ- (x^m+y^m)=z^p иметь решения в целых числах (x≠y≠0; m≠n≠p; m<n; m,n,p≥3-простые числа). 9.Доказать, может ли уравнение(xⁿ+x^n-1y+…+xy^n-1+yⁿ)-(x^m+x^m-1y+..+y^m-1x+ +y^m)=Z^p иметь решения в целых числах при nm, n3, m2 (m,n,p- простые числа, xy0).

9. Доказать имеет ли решение уравнение (xⁿ+yⁿ) – (s^m+t^m)=z^p решения в целых числах при n, m 3. x > s, y > t, m,n,p – простые числа, m, x.

Литература

1. Алава М. Он закрыл великую проблему Ферма / Краснодар. Центр. инст. информатики. 2009.- C.28-30.

2. Боревич, З.И. Теория чисел / З.И. Боревич, Н.Р. Шафаревич М.: Наука.—1985.-368 с.

3. Галканов, А.Г. Теорема о трёх корнях и два доказательства теоремы Ферма / А.Г. Галканов // Естественные и технические науки. - 2006. - №1. -C.35-36.

4. Ивлев, Ю.А. Реконструкция наитивного доказательства Великой теоремы Ферма / Ю.А. Ивлев // Объединённый научный журнал. - 2006. - №7.- C.3-9.

5. Ивлев, Ю.А. Величайшая научная афёра ХХ века: «Доказательство» последней теоремы Ферма / Ю.А. Ивлев // Естественные и технические науки. №4.-2007.-С.35-48.

6. Ивлев, Ю.А. Разгадка феномена великой теоремы Ферма / Ю.А. Ивлев // Современные наукоёмкие технологии.№4, 2010.- С.38-45.

7. Камлия, Р.А. Теорема Ферма и разложимость степенных вычетов / Р.А. Камлия // Абхазский научный центр Российской академии космонавтики им. К.Э.Циолковского. Сухум.-2008. – 68 с.

8. Карпунин, И.И. О делимости чисел / И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный // Информационная среда среда вуза: Материалы ХIV Международной научно-технической конференции. Ивановская госуд. архитектурно-строительная академия. – Иваново. - 2007.- С.501-506.

9. Карпунин, И.И. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю / И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный // Тезисы докладов 3-й Международной конференции. – М.: МФТИ, - 2008. – С.142-144.

10.Карпунин, И.И. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю / И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный // Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им Н.Драгоманова. Киев.-2010.- С.139-140.

11. Лещинский, А.С. Ошибки Э.Уайлса в доказательстве теоремы Ферма / А.С. Лещинский // Материалы научн. конференции студентов и аспирантов, посвящённой 85-летию БНТУ. Минск.-2005.-C.15-17.

12. Лещинсий, А.С. Гипотеза Вандивера / А.С. Лещинский // Сб. статей. Минск: БНТУ.-2008.-24 с.

13.Лещинский, А.С. Полное доказательство великой теоремы Ферма / А.С. Лещинский // Вестник БНТУ. Минск.- 2005.-№4.- C.57-61.

14. Серединский, В.Г. Решение проблемы Ферма / В.Г. Серединский // Изд-во Казанского университета.- 2000.- 67 с

15. Мокроносов, В.С. Где собака зарыта (доказательство великой теоремы Ферма) / В.С. Мокроносов // Естественные и технические науки.-2007.-№5.-C.35-41.

16. Цымбалов, А.С. Теорема Ферма (очередная попытка её доказать) / А.С. Цымбалов // Инновация в образовании.-2008.-№2.-C.108-112.

17. Wiles, A. Modular elliptic curves and Fermat^’ s last theorem / A. Wiles // Annals of Mathematics. 1995, V.141. - P. 443-551.

Поступила в редакцию 07.10.2010 г.