Делимость чисел при сравнении по ненулевому рациональному модулю

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета,

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент ЧУО «БИП – институт правоведения», г. Минск.

Ранее [1-4] нами было предложено сравнение по ненулевому рациональному модулю. Использование указанного сравнения позволяет доказать многие высказанные в математике предложения. Изложим сущность сравнения по ненулевому рациональному модулю и рассмотрим на его основе делимость чисел.

Из литературных источников, например [5], известны свойства сравнения , т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа, если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с, и а и b при делении на c дают одинаковые остатки.

Нами показано [3], что всякое натуральное число сравнимо по ненулевому рациональному модулю независимо от того делится или не делится а на k (а,так как это аналогично сравнению а( в нашем случае b=0), с может быть целым или дробным числом >1 (с=а:k). При этом k может принимать значения 2,3,…,а-1 и возникает частный случай, когда а:k=c – целое или дробное число >1. Это означает, что а, где (а-b):c=f, где f-целое или дробное число >1 ( с=2,3,…,(а-b)-1.

Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение [1], т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел. Причём сравнение (а, равноценно сравнению ак  

Если учесть предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю [2-5], то это означает, что при делении р на v, где р-иррегулярное число, v – регулярное число ( р выбрано большим v), получается дробное число f большее 1.

Если B_m (число числителей чисел Бернулли) делится на иррегулярное р, то имеем В_m: a₁= p (где а₁ – целое число от деления числителя чисел Бернулли). В случае, если В_m: a₂=p (где а₂ – дробное число > 1 от деления числителя чисел Бернулли В_m на р), если число р было бы регулярным, но в обоих случаях В_m : (В_m : p) = p не зависимо от того р делит или не делит В_m, то есть является ли число f >1 дробным или целым числом (f=B_m: p). Это также означает, что B_m  0 (mod B_m : p)  0 (mod f ), где f принимает частные случаи, то есть может быть целым или дробным числом >1(сравнение по ненулевому рациональному модулю). Причём B_m  0 (mod B_m : p) равноценно сравнению B_m ^. р  0 (mod B_m ).

В опубликованных нами работах [2-5] дано обоснование сравнения по нулевому рациональному модулю и показаны его свойства. Этим и всё сказано о подлинности теоремы Ферма и бесконечности регулярных простых чисел.

Обобщая имеющиеся источники и полученные нами данные [1-5], предлагается следующее.     

1. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=zⁿ в целых числах при n5 ( n-простое число, xy0).

2. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, m n; xy0).

3. Доказать, имеет ли решение уравнение x(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

4. Доказать, имеет ли решение уравнение y(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

5. Доказать, имеет ли решение уравнение x(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=zⁿ в целых числах при n5 ( n-простое число, xy0).

6. Доказать, имеет ли решение уравнение y(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=zⁿ в целых числах при n5 ( n-простое число; xy0).

Литература

1.                           Боревич З.И. Теория чисел / З.И. Боревич, Н.Р. Шафаревич М.: Наука.—1985.- 368 с.

2.                           Карпунин И.И. О делимости чисел./ И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный / Информационная среда вуза: Материалы ХIV Международной научно-технической конференции. Госуд.архитектурно-строительная академия. – Иваново. 2007.- С.501-506.

3.                           Карпунин И.И. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю./ И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный / Тезисы докладов 3-й Международной конференции. – М.: МФТИ, 2008. – С.142-144.

4.                           Карпунин И.И. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю / И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им. Драгома-нова Киев.-2010.- С.139.

5.                           Карпунин И.И. О теореме Ферма и её доказательстве./ И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск: 2010, №10(52).- С.107-109.

Поступила в редакцию 29.11.2010 г.