Моделирование при изучении основ стохастики

Гулиев Акиф Исмаил оглу,

старший преподаватель Азербайджанского государственного педагогического университета.

Оn modeling conception connected with learning of stochastic elements in primary lessons

Guliyev A.I.

The essence of modeling is shown in thesis and research of the application features of stochastic in primary lesson. Due to such experiment the propaedeutics / preliminary study of line have to organize in junior and secondary classes in our schools/ (Azerbaijan Republic).

«Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования» - писал академик В.И.Арнолд еще до появления элементов теории вероятности в стандартах школьного образования [1].

В обучении, в частности при изучении математики, часто используется так называемое «моделирование». Вспомним сначала о сути этого понятия.

Модель (лат. Modus – мера, франц. modele – образец) – искусственно созданный объект в виде схемы, чертежа, логико-математических знаковых формул, физической конструкции и.т.п., который аналогичен (подобен, сходен) исследуемому объекту [2].

Все существующие модели обычно подразделяют на три типа: физические, вещественно-математические и логико-математические. Физические модели имеют природу, сходную с природной изучаемого объекта, и отличаются от него лишь размерами, скоростью течения исследуемых явлений и иногда материалами. Вещественно-матема­тические модели имеют отличную от прототипов физическую природу, но допускают одинаковое с оригиналом математическое описание. Логико-математические модели конструируются из знаков. Это абстрактные модели, которые строятся как исчисления. Между этими типами моделей нет каких-либо мертвых граней. Так, логико-математические модели можно воплотить в вещественно-математические и даже в физические и наоборот.

Моделирование – лат. modus, франц. modele oбразец – исследование каких-либо объектов (конкретных и абстрактных) на моделях, т.е. на условных образах, схемах или физических конструкциях, аналогичных исследуемому объекту, с применением методов аналогии и теории подобия при проведении и обработке данных экспериментов [2].

Моделирование может быть предметным, физическим, матема­тическим, логическим, знаковым и т.д. Так, физическое моделиро­вание осуществляется на моделях, которые вещественно адекватны исследуемому объекту и отличаются, как правило, лишь масштабом. Мате­матическое же моделирование осуществляется на моделях, физическая природа которых отлична от физической природы изучаемого объекта, но сходна с ним в математических соотношениях процессов функциони­рования компонентов. В математической логике моделирование осуществ­ляет­ся преимущественно с помощью знаков, символов; в формальной логике – с помощью чертежей, а также знаков. Моделирование все шире начинает применяться в ходе формулирования и проверка гипотез. Вообще с каждой моделью, как правило, связывается та или иная научная гипотезы или аналогия. Моделирование базируется на умозаключении по аналогии.

Вот так выглядит научное определение этого понятия (моде­ли­ро­ван­ные) принадлежащее одному из основателей кибернетики А.А.Ляпунову [3].

«Моделирование – это опосредованное практическое или теорети­ческое – исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искус­ственная или естественная система (модель):

– находящаяся в некотором объективном соответствии с позна­ваемым объектом;

- способная замещать его в определенных отношениях;

- дающая при ее исследовании в конечном счете информацию о самом моделируемом объекте».

Именно таким исследованием, на наш взгляд и является (или, по крайней мере, должно являться) решение любой вероятностной задачи. Вычисление верятности случайного события должна начинаться с обсуждения случайного опыта и его возможных исходов, с обоснования их равно – (или, наоборот, не равно) возможности. Построенное в результате множества элементарных исходов с распределением вероятностей на нем (чаще всего равномерным) и составляет математическую модель случайного опыта. Как показывает учебная практика, именно этот этап решения вероятностной задачи вызывает у учащихся наибольшие трудности. Они не могут перечислить удачный способ их обозначения (кодирования); понять, какие детали эксперимента важны, существенны, а какие нет; попытаться свести данную ситуацию к одной из изученных ранее и т.д.

А ведь все это составляет суть математического моделирования, о котором говорилось выше.

На что же следует обратить внимание, какие методические и педагогические технологии использовать для обучения школьников «искусству моделирования»?

Можно рассматривать два важных момента, связанных с процесссом построения вероятностных моделей. Из них превый связан с традиционной для математического стиля мышления способностью (если хотите, компетенцией) «увидеть разные в одинаковом и одинаковое в разном». Именно она и составляет основу любого моделирования. Второй посвящается использованию компьютера в обучении математике, сделавший в последние годы значительный шаг вперед благодаря программе и информатизации передовик государственной школы. Мы рассмотрим здесь первый момент.

В задачах на вычисление вероятности всегда подразумевается случайных экспермент, но часто ничего не говорится о том, каким образом это случайность осуществляется. Чтобы научиться строить вероятностные модели, решение задачи полезно начинать с обсуждения того, как именно реализовать эту случайность на практике. Например:

1) как группировать данных по определенному признаку; целенаправленный и организованный перебор вариантов;

2) анализ инофрмации представленной в виде таблиц, диаграмм, графиков;

3) ощущение степени случайности в явления окру­жающей действительности и использование для ее оценки адекватных вероятностныхтерминов («достоверно», «маловероятрно» и.т.д);

4) как разыграть справедливый жребий, организовать случайный выбор;

5) умение найти среднее значение выборки и выявить наиболее характерный для нее элемент и т.д.

Различные варианты осуществления опыта могут привести к постраению различных математических моделей. В связи с этим можно выделить несколько уровней математической культуры школьников при моделировании вероятностных ситуаций. Этих уровней обозначим символичный через 0; 1; 2 и выясним суть: 0 (скорее даже «минус первы»). Подстановка чисел в формулы. Такое «моделировование» заключается только в том, что ученик пытается подставить данные в условие задачи числа в известные ему общие формулы для вычисления вероятности.

1. Правильное моделирование. Ученик строит модель вероят­ностного опыта в точном соотвествии с условием задачи, правильно опи­сывает элементарные исходы и обосновывает их равновозможность.

2. Моделирование «на грани дозволенного». В этом случае описан­ный в условии опыт заменяется другим, который легче анализировать и изучать. При этом полностью меняется модель, появляется другое пространство элементарных исходов, но вероятность интересующего нас случайного события остается той же. Таким образом, ученик придумывает модель, которая формально не соотвествует поставленным условиям, но сохраняет при этом все существенные связи и позволяет гораздо быстрее получить ответ. Проиллюстрируем сказанные на примере: «В классе 25 учеников, за один урок учитель успевает опросить 5 учеников, которых выбирает случайным образом. Мурад отлично подготовился к уроку. Какова вероятность, что в этот день учитель вызовит Мурада?».

В уровене 0, начиная учиться решать задачи на вычисление верятности, ученик обычно пытается найти в условии значения m и n, чтобы подставить их в формулу классической вероятности . Поэ­тому, скорее всего, многими учащимися будет предложен такой вариант решения: в классе 25 учеников, значит, n=25; учитель опросит пятерых, значит m=5; поэтому . В данном случае вероятность события получилась верной, но верно ли решены задачи? Иными словами, можно ли считать такое объяснение значений чисел n и m верным? Конечно нет. Ведь в формуле n – это число всех возможных элементарных исходов опыта, а m – это число тех из них, при которых произойдет интересующее нас событие. То есть чтобы получить числовые значения n и m, нужно обратиться к опыту и проанализировать его возможные исходы А о каком опыте идет речь в данном варианте решение? К сожалению, в этом решении об опыте не только не говорится, но опыт в нем даже не подразумевается.

В уровень 1 в общих чертах опыт всегда описан в условии задачи. В данном случае он заключается в том, что учитель выбирает случайным образом 5 учеников из 25. при этом здесь не уточняется, выбирает ли он их одновременно или последователоьно, не описывается, каким образом осуществляется в выборе случайность. Например, у него может быть 25 карточек с фамилиями учеников и он достает наугад одновременно 5 из них. Тогда опыт состоит в одновременном выборе 5 элементов из 25, т.е. каждый элементарный исход – это сочетание элементов из 25 по 5. Всего равновозможных элементарных исходов у этого опыта . Из них событию {среди выбранных пяти учеников оказался Мурад} благоприятствует  элементарных исходов. Тогда вероятность . Если же учитель достает карточки последовательно, то каждый элементарный исход – это размещение из 25 по 5. в этом случае , а  и верятность, разумеется, не изменится.

В уровень 2 ставится вопрос: можно ли решить задачу иначе? Попробуем организовать случайный выбор пятерых «везунчиков» по-другому. Предположим, учитель предлагает детям тянуть жребий следующим образом: в коробке лежит 25 шаров, из которых 5 окра­шенных; ученики по очереди подходят к коробке и вытаскивают по одному шару без возвращения; те, кому достанется окрашенный шар, будет отвечать у доски. Пусть для простоты Мурад первым вытащит шар. Тогда элементарный исход – это конкретный вытащенный шар, всего их , а из них благоприятных (т.е. окрашенных) . Искомую вероятность получаем без всяких расчетов: . Формула та же, что и на уровне 0, но совершенно другое объяснение! Правда, остается открытым вопрос – а почему Мурад тащит первым?

Возвращаясь к описанным примерам, отметим, что основная задача учителя при решении такого рода задач – помочь учащимся перейти при построении вероятностных моделей с нулевого уровня на первый. Но при этом нельзя забывать и 0 существовании воторого уровня: хотя бы для того, чтобы не перепутать его с нулевым и вовремя рассмотреть в нестандартных рассуждениях своих учеников не только правильный, но и более рациональный путь решения задачи.

В заключительном порядке отметим что, в V класс дети приходят с достаточно высоким уровнем комбинаторного мышления, независимо от того, по кааим учебникам математики они работали в начальной школе.

Большинство учащихся в V-VI классов готовы к восприятию понятия вероятности в классическом и геометрическом толковании. Они верно оценивают шансы событий, когда число элементарных исходов испытания очевидно и невилико. Можно предпологать, что когда жизненный опыт учащихся обогатится и они на практике столкнутся с оценками шансов событий (скорее всего – в VII-VIII классах), учащиеся легко воспримут статистическое определение вероятность. Понятие относительной частоты конкретной велечины дети готовы воспринять сразу после изучения обыкновенных дробей в V классе.

Литература

1. Арнольд В.И. Математика и математическое образование в сов­ремен­ном мире. «Математическое образование», 1997, №2.

2. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник, издательство «наука», М., 1975.

3. Новик И.Б. О философских вопросах кибернетического моделирования, М., Знание, 1964.

4. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистики, М., Дрофа, 2002.

5. Гулиев А.И. К решению комбинаторных задач, «Перспективы развития современной школы», научно-методический журнал, 2009, №5, Воронеж.

Поступила в редакцию 01.06.2010 г.