ISSN 1991-3087
Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

НА ГЛАВНУЮ

Расчет напряженности электрического и магнитного полей изотропного излучателя в однородной среде

 

Нилова Людмила Ивановна,

соискатель кафедры физики Череповецкого военного инженерного института радиоэлектроники.

 

Однородная безграничная среда может представлять собой свободное пространство, диэлектрическую среду, среду с проводимостью, а также среду со свободными зарядами.

Свободное пространство представляет собой безграничную среду, у которой диэлектрическая и магнитная проницаемость равна единице, удельная проводимость равна нулю, поглощение в среде отсутствует. Реально таких сред не существует, однако, выражения, описывающие условия распространения электромагнитных волн, являются фундаментальными. Распространение электромагнитных волн в более сложных случаях характеризуется теми же выражениями с внесением в них определенных поправок.

Пусть источником электромагнитных волн является изотропный излучатель, т.е. антенна, излучающая одинаково во всех направления. Реальные антенны излучают неизотропно, но направленность реальных антенн можно учесть с помощью так называемого коэффициента направленного действия (КНД) D. Под КНД антенны понимается число, представляющее отношение квадрата модуля напряженности электрического поля, создаваемого антенной в направлении максимального излучения, к среднему (по всем направлениям) значению квадрата напряженности этого поля

.                                                                                                           (1)

Например, элементарный диполь – это слабо направленная антенна с КНД 1,5. Как известно, характеристикой движения энергии в волне является вектор Пойнтинга , где , .

Среднее значение этого вектора

.                                                                                                      (2)

На расстоянии r от излучателя мощность излучения равна

 .                                                                    (3)

Учитывая, что в электромагнитной волне в любой момент времени плотности энергии электрического и магнитного полей равны , найдем связь между амплитудными значениями  и :

.                                                                                                       (4)

Подставив в (4) значения электрической и магнитной постоянных, получим  – волновое сопротивление свободного пространства.

Тогда .                                                                                           (5)

Выразим из (5) значение , подставим его в (2)

.                                                                                                           (6)

или, из (3) получим

,                                                                                                              (7)

откуда

.                                                                                                         (8)

С учетом КНД получаем, что амплитуда напряженности электрического поля направленной антенны равна

.                                                                                                      (9)

Выражение (9) справедливо для антенн любого типа, если поставить в него соответствующее значение коэффициента направленного действия D.

Примером свободного пространства может быть космическое пространство в пределах Солнечной системы. Концентрация частиц на таких расстояниях () не изменяет существенно его свойства. В то же время межзвездное пространство, имеющее концентрацию атомов и молекул на порядок меньше, не может оставаться свободным ввиду больших расстояний, которые проходят электромагнитные волны и, следовательно, взаимодействуют с большим количеством вещества.

I. Пусть электромагнитные волны распространяются в безграничной среде, характеризуемой ,  и . Связь этих характеристик дается соотношениями:

;                 ;               .                                          (10)

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме

,                                                                                                         (11)

.                                                                                                  (12)

Уравнения электромагнитной волны для компонент  и  запишутся

В комплексной форме (13) выглядят следующим образом:

,

где  - комплексная амплитуда колебаний вектора  в электромагнитной волне.

Аналогично, для вектора

,

где  - комплексная амплитуда колебаний вектора  в электромагнитной волне.

Плотность тока проводимости по закону Ома равна . С учетом вышеизложенного уравнения (11) будет

.                                                                             (14)

Аналогично, уравнение (12)

.                                                            (15)

Таким образом, в правой части (15) находится вектор, состоящий из двух частей. Для того чтобы записать (15) формально аналогично (14), введем так называемую комплексную диэлектрическую проницаемость.

                        (16)

,                                                                                                         (17)

где  - комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

Если , то , т.е. среда является чисто диэлектрической. При прохождении электромагнитной волны через диэлектрик происходит взаимодействие электрической и магнитной компонент  и  с электронами, входящими в состав молекул (атомов) вещества. Такие электроны начинают колебаться с частотой вынуждающей силы, т.е. с частотой  электромагнитного поля.

Амплитуда колебаний зависит от соотношения между  и , где  - собственная частота электронного осциллятора (рис. 1).

 

 

В результате диэлектрическая проницаемость среды становится функцией частоты . Поскольку, согласно теории Максвелла , то это означает, что и  тоже зависит от частоты колебаний внешнего электромагнитного поля . Показатель преломления данной волны оказывается зависящим от частоты падающего света, и длина волны в среде

,                                                                                                          (18)

где  - длина волны в вакууме.

С ростом частоты колебаний внешнего поля  диэлектрическая проницаемость уменьшается. Это объясняется тем, что с увеличением  молекулярные диполи, например, полярные молекулы воды, не успевают ориентироваться в направлении электрического поля. Отметим, что при распространении электромагнитных волн разница между диспергирующими средами и средами без дисперсии имеет смысл лишь в отношении немонохроматических волн ().

Распространение волны в диэлектрике описывается уравнением

                                                                             (19)

Для диэлектрика волновое число .

Тогда комплексную амплитуду напряженности электрического поля можно представить

,                                                                                                    (20)

где y – расстояние, пройденное волной в данной среде.

II. Пусть волна распространяется в проводящей среде.

Рассмотрим, как меняется уравнение плоской волны в среде с потерями, где .

Введение комплексной диэлектрической проницаемости среды (17), позволяет получить выводы, относящиеся к распространению волн в проводящей среде из соответствующих формул для диэлектрика путем замены в них вещественной диэлектрической проницаемости среды  на комплексное значение диэлектрической проницаемости . При этом квадрат постоянной распространения (волнового числа) вместо k запишем :

,

.                           (21)

Постоянная распространения

.                                                                            (22)

Так как корень квадратный из комплексного числа напрямую не вычисляется, сделаем следующие преобразования.

Запишем

.                                                                                                             (23)

Здесь k – действительная часть постоянной распространения, s - мнимая часть.

Уравнение (23) возводим в квадрат и приравниваем к значению  из (21):

   (24)

Приравнивая действительные и мнимые части (24), находим

Введя обозначения a и b, решаем систему относительно  и .

Из (25) находим k: , и подставляем в (26)

 .

Возведем в квадрат обе части:

;                            .                                   (27)

Получили биквадратное уравнение; вводим новую переменную ; . Тогда ,

 .

Решаем полученное уравнение:

                        (28)

( не может быть отрицательным).

Подставляя (28) в (25) в итоге имеем

                                                                           (29)

Найдем .

Тогда

,                                                                                                      (30)

,                                (31)

.                               (32)

С учетом полученных выражений, запишем решение волнового уравнения для плоской одномерной волны, распространяющейся в проводящей среде в направлении оси oy.  представим в виде (23):

                                        (33)

Экспонента  говорит об уменьшении амплитуды  при распространении волны в среде.

На пути ,  - амплитуда волны затухает в e раз.

Эта величина определяет глубину проникновения волны в проводящую среду.

Найдем s из (31)

.                                                               (34)

Для всех разумных значений частот  и проводимостей  отношение .

Например, для морской воды , , , ; тогда .

Пренебрегая единицами в (34), получаем

.                                                                  (35)

Глубина проникновения, на которой амплитуда волны уменьшается в e раз, равна

.                                                                                                (36)

Таким образом, волна, попав в проводящую среду, частично или полностью поглощается и характеризует поглощение мнимая часть s комплексного коэффициента распространения , связанная с удельной проводимостью.

Глубина проникновения волны в проводящую среду зависит от частоты волны и проводимости среды. Например, глубина проникновения световых волн в металл имеет порядок . Энергия волны переходит в джоуль–ленцево тепло. В средах с достаточной проводимостью для целей радиосвязи следует использовать радиоволны с большей длиной волны. Например, связь с подводными лодками, находящимися в морской воде, осуществляется на длинах волн , если удельная проводимость морской воды , то из (36) следует, что .

 

Литература

 

1.                  Грудинская Г.П. Распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1975.

2.                  Марков Г.Т., Петров Б.В., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. – М.: Сов. радио, 1969.

3.                  Татур Т.А Основы теории электромагнитного поля. – М.: Высшая школа, 1989.

 

Поступила в редакцию 18.01.2020 г.

2006-2019 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.