Расчет напряженности электрического и
магнитного полей изотропного излучателя в однородной среде
Нилова
Людмила Ивановна,
соискатель кафедры физики Череповецкого
военного инженерного института радиоэлектроники.
Однородная безграничная среда
может представлять собой свободное пространство, диэлектрическую среду, среду с
проводимостью, а также среду со свободными зарядами.
Свободное пространство
представляет собой безграничную среду, у которой диэлектрическая и магнитная
проницаемость равна единице, удельная проводимость равна нулю, поглощение в
среде отсутствует. Реально таких сред не существует, однако, выражения,
описывающие условия распространения электромагнитных волн, являются фундаментальными.
Распространение электромагнитных волн в более сложных случаях характеризуется
теми же выражениями с внесением в них определенных поправок.
Пусть источником электромагнитных
волн является изотропный излучатель, т.е. антенна, излучающая одинаково во всех
направления. Реальные антенны излучают неизотропно,
но направленность реальных антенн можно учесть с помощью так называемого
коэффициента направленного действия (КНД) D. Под КНД антенны понимается число,
представляющее отношение квадрата модуля напряженности электрического поля,
создаваемого антенной в направлении максимального излучения, к среднему (по
всем направлениям) значению квадрата напряженности этого поля
. (1)
Например, элементарный диполь –
это слабо направленная антенна с КНД 1,5. Как известно, характеристикой
движения энергии в волне является вектор Пойнтинга 
, где 
, 
.
Среднее значение этого вектора
. (2)
На расстоянии r от излучателя мощность излучения равна
. (3)
Учитывая, что в электромагнитной
волне в любой момент времени плотности энергии электрического и магнитного
полей равны 
, найдем связь между амплитудными значениями 
и 
:
. (4)
Подставив в (4) значения электрической и магнитной постоянных, получим 
– волновое
сопротивление свободного пространства.
Тогда 
. (5)
Выразим из (5) значение
, подставим его в (2)
. (6)
или, из (3) получим
, (7)
откуда
. (8)
С учетом КНД получаем, что
амплитуда напряженности электрического поля направленной антенны равна
. (9)
Выражение (9) справедливо для
антенн любого типа, если поставить в него соответствующее значение коэффициента
направленного действия D.
Примером свободного пространства
может быть космическое пространство в пределах Солнечной системы. Концентрация
частиц на таких расстояниях (
) не изменяет существенно его свойства. В то же время
межзвездное пространство, имеющее концентрацию атомов и молекул на порядок
меньше, не может оставаться свободным ввиду больших расстояний, которые
проходят электромагнитные волны и, следовательно, взаимодействуют с большим
количеством вещества.
, 
и 
. Связь этих характеристик дается соотношениями:
; 
; 
. (10)
Запишем уравнения Максвелла в
дифференциальной форме
, (11)
. (12)
Уравнения электромагнитной волны
для компонент 
и 
запишутся
В комплексной форме (13) выглядят
следующим образом:
,
где 
- комплексная
амплитуда колебаний вектора 
в электромагнитной волне.
Аналогично, для вектора 
,
где 
- комплексная
амплитуда колебаний вектора в электромагнитной
волне.
Плотность тока проводимости по
закону Ома равна . С учетом вышеизложенного уравнения (11) будет
. (14)
Аналогично, уравнение (12)
. (15)
Таким образом, в правой части (15)
находится вектор, состоящий из двух частей. Для того чтобы записать (15)
формально аналогично (14), введем так называемую комплексную диэлектрическую
проницаемость.
(16)
, (17)
где 
- комплексная диэлектрическая
проницаемость среды.
Если 
, то 
, т.е. среда является чисто диэлектрической. При прохождении
электромагнитной волны через диэлектрик происходит взаимодействие электрической
и магнитной компонент и с электронами,
входящими в состав молекул (атомов) вещества. Такие электроны начинают
колебаться с частотой вынуждающей силы, т.е. с частотой 
электромагнитного
поля.
Амплитуда колебаний зависит от
соотношения между и 
, где - собственная
частота электронного осциллятора (рис. 1).
В результате диэлектрическая
проницаемость среды становится функцией частоты . Поскольку, согласно теории Максвелла 
, то это означает, что и 
тоже зависит от
частоты колебаний внешнего электромагнитного поля . Показатель преломления данной волны оказывается зависящим
от частоты падающего света, и длина волны в среде
, (18)
где 
- длина волны в
вакууме.
С ростом частоты колебаний
внешнего поля диэлектрическая
проницаемость уменьшается. Это объясняется тем, что с увеличением молекулярные диполи,
например, полярные молекулы воды, не успевают ориентироваться в направлении
электрического поля. Отметим, что при распространении электромагнитных волн
разница между диспергирующими средами и средами без
дисперсии имеет смысл лишь в отношении немонохроматических волн (
).
Распространение волны в
диэлектрике описывается уравнением
(19)
Для диэлектрика волновое число 
.
Тогда комплексную амплитуду
напряженности электрического поля можно представить
, (20)
где y – расстояние, пройденное волной в данной
среде.
II. Пусть волна распространяется в проводящей
среде.
Рассмотрим, как меняется
уравнение плоской волны в среде с потерями, где 
.
Введение комплексной
диэлектрической проницаемости среды (17), позволяет получить выводы,
относящиеся к распространению волн в проводящей среде из соответствующих формул
для диэлектрика путем замены в них вещественной диэлектрической проницаемости
среды 
на комплексное
значение диэлектрической проницаемости . При этом квадрат постоянной распространения (волнового
числа) вместо k
запишем 
:
,
. (21)
Постоянная распространения
. (22)
Так как корень квадратный из
комплексного числа напрямую не вычисляется, сделаем следующие преобразования.
Запишем
. (23)
Здесь k – действительная часть постоянной
распространения, s - мнимая
часть.
Уравнение (23) возводим в квадрат
и приравниваем к значению 
из (21):
(24)
Приравнивая действительные и
мнимые части (24), находим
Введя обозначения a и b,
решаем систему относительно 
и 
.
Из (25) находим k: 
, и подставляем в (26)
.
Возведем в квадрат обе части:
; 
. (27)
Получили биквадратное уравнение;
вводим новую переменную 
; 
. Тогда 
,
.
Решаем полученное уравнение:
(28)
( не может быть отрицательным).
Подставляя (28) в (25) в итоге
имеем
(29)
Найдем 
.
Тогда
, (30)
, (31)
. (32)
С учетом полученных выражений,
запишем решение волнового уравнения для плоской одномерной волны,
распространяющейся в проводящей среде в направлении оси oy. представим в виде (23):
(33)
Экспонента 
говорит об уменьшении
амплитуды при распространении
волны в среде.
На пути 
, 
- амплитуда волны
затухает в e раз.
Эта величина определяет глубину
проникновения волны в проводящую среду.
Найдем s из (31)
. (34)
Для всех разумных значений частот
и проводимостей отношение 
.
Например, для морской воды 
, 
, 
, 
; тогда 
.
Пренебрегая единицами в (34),
получаем
. (35)
Глубина проникновения, на которой
амплитуда волны уменьшается в e
раз, равна
. (36)
Таким образом, волна, попав в
проводящую среду, частично или полностью поглощается и характеризует поглощение
мнимая часть s
комплексного коэффициента распространения , связанная с удельной проводимостью.
Глубина проникновения волны в
проводящую среду зависит от частоты волны и проводимости среды. Например,
глубина проникновения световых волн в металл имеет порядок 
. Энергия волны переходит в джоуль–ленцево
тепло. В средах с достаточной проводимостью для целей радиосвязи следует использовать
радиоволны с большей длиной волны. Например, связь с подводными лодками, находящимися
в морской воде, осуществляется на длинах волн 
, если удельная проводимость морской воды , то из (36) следует, что 
.
Литература
1.
Грудинская Г.П.
Распространение радиоволн: Учеб. пособие
для вузов. – М.: Высшая школа, 1975.
2.
Марков
Г.Т., Петров Б.В., Грудинская Г.П. Электродинамика и
распространение радиоволн: Учеб. пособие
для вузов. – М.: Сов. радио,
1969.
3.
Татур Т.А Основы
теории электромагнитного поля. – М.: Высшая школа, 1989.
Поступила
в редакцию 18.01.2020 г.