Исследование поверхности эмиссионных материалов в режиме насыщения

 

Коваленко Юрий Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

Королев Дмитрий Сергеевич,

аспирант, инженер.

Федеральное Государственное унитарное предприятие «Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина», Государственный научный центр Российской Федерации.

 

Показано, что термоэмиссионные материалы обладают существенной эмиссионной неоднородностью и токоотбор должен описываться с учетом ее. Предложено уравнение токоотбора в режиме насыщения с учетом эмиссионной неоднородности. Уравнение по своей структуре – интегральное уравнение типа свертки. Показано, что обратная задача – определение эмиссионной неоднородности из результатов эмиссионных испытаний является некорректной и требует для своего решения привлечения априорной информации. Предложен алгоритм решения обратной задачи, связанный с минимизацией функционала Тихонова путем Фурье преобразования. Показано хорошее совпадение теоретических и экспериментальных результатов.

 

Многочисленные исследование поверхности термоэмиссионных материалов [1-5] показывают, что для всех эмиссионных материалов микрорельеф поверхности, химический и фазовый состав, а так же работа выхода ее носят статистический характер.

На рис. 1 приведены типичный результат исследования поверхности, полученный в эмиссионном микроскопе и гистограмма распределения яркости барий никелевого прессованного термоэмиссионного материала.

 

Рис.1. Эмиссионное изображение и гистограмма распределения яркости.

 

Так как яркость изображения зависит от плотности тока эмиссии, которая в свою очередь зависит от работы выхода, то данные результаты указывают на статистический характер распределения работы выхода. Можно показать [1-5], что статистический характер распределения работы выхода присущ всем материалам и должен учитываться при разработке электронных приборов.

В работе [6] показано, что с учетом эмиссионной неоднородности уравнение токоотбора имеет вид:

где  плотность тока ;  - ядро интегрального уравнения, отражающего электроно-оптические свойства системы; u - напряжение, В; T – температура эмиттера, К;  - работа выхода, эВ; - статистическая функция распределения работы выхода , где -  - площадь поверхности эмиттера с работой выхода  

Так как для каждого фиксированного значениях u и Т

где  - Дельта функция Дирака такая, что  ,  

то из уравнения (1) можно заключить, что значение ядра  

численно равно величине полного токоотбора с эмиттера, обладающего постоянной по всей поверхности работой выхода .

Для плоской параллельной электронно-оптической системы в режиме насыщения при применении эмиттера с постоянной работой выхода [7]

Обозначив , преобразуем уравнение токотбора к виду

Очевидно, уравнение токоотбора в режиме насыщения – это уравнение свертки

Назовем уравнение (2) – уравнением токоотбора в режиме насыщения с учетом эмиссионной неоднородности.

 

Для практических целей представляет интерес разработка методики определения эмиссионной неоднородности из результатов эмиссионных испытаний. Такая методика позволила бы определять химический и фазовый состав поверхности [8-9] без воздействия на нее частицами или квантами в составе устройств и условий, при которых происходит эксплуатация поверхности.

По своей структуре уравнение токоотбора в режиме насыщения аналогично уравнению, описывающему зондовую характеристику в диагностике плазмы, для которой распространенной методикой определения функции распределения является методика связанная, фактически, с двукратным численным дифференцированием вольт амперной характеристики [1-3]. Авторы данных работ доказывают правомерность предлагаемой ими методики и приводят результаты исследования ряда эмиссионных материалов. Однако попытка повторить методику, дала неожиданные результаты.

 

Априорная ФРРВ                                                                          Вах Т=1575К d=0.1 см

 

0.05 % s=533 n=101                                                                        0.01% s=79 n=101

 

0.025% s=155 n=101                                                                      0.001% s=77 n=101

Рис. 2. Модельный пример зависимости результата восстановления ФРРВ для ряда значений точности регистрации ВАХ.

 

На рис. 2 приведен модельный пример процесса восстановления ФРРВ из результатов эмиссионных испытаний, для чего для априорно заданной функции распределения работы выхода

 

по уравнению (2) рассчитывалась вольт амперная характеристика. Далее к вольт амперной характеристике добавлялась погрешность, связанная с погрешностью регистрирующей аппаратуры. Интегральная погрешность восстановления ФРРВ определялась по формуле

Не смотря на высокую точность регистрации ВАХ характеристики, результат, получаемый обычным методом, далек от приемлемого.

Более того, как показано на рис. 3 при повышении точности регистрации ВАХ решение не сходится к точному.

 

Рис. 3. Зависимость интегральной погрешности определения ФРРВ от погрешности регистрации вольтамперной характеристики.

 

В [10] отмечается – влияние погрешности исходной информации на поведение решения позволяет разделить все задачи на два класса: корректные и некорректные задачи. При этом корректно поставленной задачей на классе ее допустимых данных, считается такая задача, для которой:

1)                 решение существует для любых данных из множества допустимых значений;

2)                 оно единственно для любых данных из множества допустимых значений;

3)                 решение сходится к точному при погрешности исходных данных стремящейся к нулю.

Те же задачи, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию корректной постановки – некорректны.

В случае некорректной задачи понятие «приближенное решение» теряет смысл, поскольку отсутствует сходимость приближенного решения к точному. Одно «приближенное решение» может при незначительном изменении исходных данных сколь угодно сильно отличаться от другого, что и наблюдалось при моделировании.

Причина некорректности обратной задачи связана с тем, что:

Во-первых, при экспериментальных исследованиях и при применении численных методов непрерывная функция заменяется выборкой конечного объема, то есть заменяется разрывной функцией. Из-за ограниченности разрядности аппаратных средств, используемых при измерениях и вычислениях, и аргумент, и значения функции имеют приближенное значение. Поэтому переход от вычисления значений непрерывной функции с точно заданным аргументом, к приближенному вычислению функции по заданному с ограниченной точностью аргументу означает переход от сопоставления точечных элементов к сопоставлению множеств, то есть существенно изменяется понятие вычисления функции.

 Необходимо иметь в виду – операция дифференцирования определена только для непрерывных функций, поэтому сложиться ситуация, когда правая часть прямой задачи, описываемая уравнением Фредгольма 1-го рода (2), непрерывна и дифференцируема, в то время как левая же часть – экспериментальные или расчетные данные не непрерывны и понятие дифференцирования в классическом смысле для левой части недопустимо.

Во-вторых – решение обратной задачи, описываемой интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода (2), не однозначно.

Докажем, что , если существует точное решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода , то существует бесконечно много решений

таких, что для любого  можно указать такое , что для

Действительно, с учетом (1-2) неравенство (4) можно записать в виде

Или , после изменения порядка интегрирования

Интеграл с левой стороны неравенства имеет аналитическое решение

Так как  

и  , то

Поэтому, так как для любого  можно указать такое

,

что для всех выполняется неравенство .

Таким образом, для любой наперед заданной погрешности , можно указать такое значение , что для всех значений для всех  помимо решения , существуют решения решений

   удовлетворяющие условию (4)

В свою очередь, интеграл квадрата отклонение решения от точного

 

=

Очевидно, числа Q и  могут быть выбраны (например так, что, то при сколь угодно малых уклонении правой части уравнения (4), уклонение (5) соответствующих им решений, может быть произвольным. Последнее позволяет сделать вывод о неоднозначность решения.

 

Возможность нахождения приближенного решения некорректно поставленной задачи, устойчивого к малым изменениям исходных данных, базируется на использовании дополнительной, априорной информации о решении. Наиболее часто используется информация о том, что решение положительно определено, ограничено, гладко, выпукло, монотонно или их комбинация [10]. В этом случае решение находится путем минимизации функционала Тихонова [10]

где  - экспериментальные значения токоотбора; - ядро соответствующее электронно-оптической системе, в которой производится испытание.  действительная функция, непрерывная в прямоугольнике    - экспериментальные значения токоотбора;  - погрешность регистрации тока

h - погрешность ядра уравнения

Таким образом, погрешность задачи характеризуется парой чисел .

Традиционно, для краткости обозначения используют понятие «вектор погрешности» . Задача заключается в том, чтобы по заданным

 построить элемент  такой, что  при .

- параметр регуляризации, определяемый по обобщенной невязке.

Можно показать [10], что при выборе параметра регуляризации α по принципу обобщенной невязки, приближенное решение

  при  сходится к точному решению задачи в норме пространства .

Кроме того, из теоремы вложения следует, что при  

   сходится к  равномерно, т.е.

   при

Так как эмиссионная характеристика в режиме насыщения описывается уравнением типа свертки, то при фиксированном значении параметра  можно выписать экстремаль функционала Тихонова в аналитическом виде. В частности, так как Фурье образ функционала Тихонова имеет вид [10]

то при фиксированном значении параметра α решение имеет вид

При этом параметр регуляризации находится из решения уравнения невязки

При решении некорректной задачи результат зависит от погрешности исходной информации, поэтому обязательным шагом является доказательство сходимости решения к точному, при погрешности исходной информации стремящейся к нулю. Доказательство было осуществлено методом математического моделирования связанного с совместным использованием программы определения распределения работы выхода из результатов эмиссионных испытаний и метода статистического моделирования Монте-Карло.

Процесс моделирования включал: задание априорной функции распределения работы выхода ; задание геометрических параметров электронно-оптической системы (моделирование проводилось для плоско параллельной диодной системы с площадью эмиттера 1 см², межэлектрод-ным расстоянием 1 мм и температурой эмиттера T=2000К); определение вольт амперной характеристики – как результат расчетов с помощью интегрального уравнения

Далее, к величинам выборочных значений тока и напряжений добавлялся шум, связанный c погрешностью обусловленной конечной разрядностью используемых для регистрации ВАХ аналогово-цифровых преобразователей (АЦП). Дисперсия шума создаваемого АЦП определялась по формуле [11] , где - максимальное значение регистрируемой величины; n - разрядность регистрирующей аппаратуры.

Таким образом, вместо точного значения  известно его приближенное решение : .

Из-за погрешности регистрации напряжения ядро уравнение содержит погрешность, т.е. вместо точного значения K известно его приближенное значение  такое, что

Далее решалась обратная задача – определение ФРРВ из эмиссионной характеристики с зашумлением

Интегральная погрешность восстановления ФРРВ определялась по формуле

На рис. 4 хорошо прослеживается влияние погрешности регистрации ВАХ на результат определения ФРРВ.

Интегральная погрешность определения ФРРВ в зависимости от от разрядности АЦП приведена на рис. 5.

 

8 бит                                                                                                   10 бит

 

12 бит                                                                                                 14 бит

Рис. 4. Модельный пример восстановления ФРРВ для ряда значений разрядности АЦП.

 

Рис. 5. Влияния погрешности регистрирующей аппаратуры на погрешность восстановления ФРРВ.

 

Анализ приведенной зависимости доказывает – решение сходится к точному при погрешности исходной информации стремящейся к нулю. Для достоверного восстановления ФРРВ в диапазоне 1эВ необходимо применение АЦП с разрядностью более 16 бит, то есть 0.01-0.003%.

 

Данная методика была использована для исследования ряда эмиссионных материалов в условиях характерных условиям их эксплуатации. На рис. 6 приведен один из результатов применения данной методики для исследования процессов, протекающих при активировании эмиссионного материала гексаборида лантана.

 

Рис. 6. Результаты экспериментального исследования активирования гексаборида лантана.

 

Полученные результаты высоко информативны и не могут быть получены никакими другими методами исследования поверхности.

 

Литература

 

1.                  Hasker J.and Van Hijngen N.C.J. Cathode and scaling properties related to the shape of current voltage caracteristics. // Applied Surface Science v24 (1985) p 318-329.

2.                   J.C. Tonnerre, D.Brion, Palluel and A.M. Shroff Evaluation of the work function distribution of impregnated cathodes.// Applications of Surface Science v 16 (1983) p.238-245.

3.                  K. Santhosh Kumar, P. Durga Devi, M. Ravi and K.S. Bhat Work function distribution for W–Ir mixed metal matrix cathodes. // Applied Surface Science, Volume 252, Issue 16, 15 June 2006, Pages 5632-5635

4.                  L.X. Li, R.P. Liu, C.Z. Fan, M.Y. Lv, J. Li and W.K. Wang. I–V curve oscillation observed by atomic force microscopy. // Applied Surface Science, Volume 252, Issue 16, 15 June 2006, Pages 5803-5807

5.                  S. N. Jenkins, D. K. Barber, M. J. Whiting and M. A. Baker. Preliminary results on the chemical characterization of the cathode nickel—emissive layer interface in oxide cathodes// Applied Surface Science, Volume 215, Issues 1-4, 15 June 2003, Pages 78-86

6.                   А.Н.Ермилов, Ю.А. Коваленко, Д.С. Королев. «Токоотбор в мощных СВЧ приборах с учетом эмиссионной неоднородности термоэмиттеров». «Электронная техника», сер.1 «СВЧ техника», №1,2011.

7.                  Л.Н. Добрецов, М.В. Гомаюнова. Эмиссионная электроника. М: Наука, 1966. – 564 с.

8.                  В.С. Фоменко, Эмиссионные свойства химических элементов и их соединений. (Справочник). Киев: Наукова Думка, 1981.- 340с.

9.                  Х.И. Ибрагимов, В.А. Корольков. Работа выхода электрона в физико-химических исследованиях. М:. Интермед-Инженеринг. 2002. -526 с.

10.              А.С. Леонов. Решение некорректно поставленных задач: Очерк: теория, практические алгоритмы и демонстрации в Matlab.-M.: Книжный дом.»Либроком»,2010,-336 с.

11.               Р.Отнес, Л. Эноксон. Прикладной анализ временных рядов. -М: Мир., 1982.-432 с.

 

Поступила в редакцию 13.12.2010 г.