О возможности анализа спектров сигналов в спиновых эхо-процессорах в реальном масштабе времени

 

Ковалевский Михаил Михайлович,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и математической физики,

Соколов Олег Владимирович,

аспирант кафедры теоретической и математической физики.

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого.

 

В статье исследуется возможность получения в спиновых эхо-процессорах (СЭП) спектров сигналов в реальном масштабе времени без применения дополнительных устройств. Показано, что при использовании трехимпульсной методики управляющий сигнал однозначно определяется исследуемым сигналом. При заданном управляющем сигнале, в частности с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), в СЭП можно получить спектр в реальном масштабе времени только для исследуемого сигнала, принадлежащего некоторому дискретному набору.

Ключевые слова: спиновое эхо, спектры сигналов.

 

Известны применения спинового эха для создания управляемых линий задержек и других устройств обработки сигналов [1,6]. Спиновые эхо-процессоры (СЭП), принцип действия которых основан на явлениях спинового или светового эха, отличаются простотой изготовления и настройки, относительно малыми габаритами. В [2] показано, что в СЭП возможно осуществить получение спектров сигналов в реальном масштабе времени трехимпульсным методом, используя в качестве третьего управляющего импульса сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), при выполнении условия

,                                                                                                                 (1)

где t₁ – длительность анализируемого сигнала, τ – длительность ЛЧМ, 2Δf – величина девиации частоты ЛЧМ импульса. Также при этом необходимо использование фазового детектора. В [5,8] удалось исключить неравенство (1) путем введения предварительной операции гетеродинирования анализируемого сигнала. Необходимо отметить, что условие (1) ограничивает возможность анализа спектров сложных фазоманипулированных сигналов, длительность которых сравнима или превышает .

Целесообразно установить возможность получения в спиновых эхо-процессорах спектров сигналов в реальном масштабе времени по трехимпульсной методике без применения дополнительных устройств.

Известно [6,7], что спектральная функция стимулированного трехимпульсного эха в малосигнальном приближении без учета релаксации может быть записана в виде

,                                             (2)

где S₁(ω) —спектральная функция первого импульса; S₂(ω) —спектральная функция второго импульса; S₃(ω) — спектральная функция третьего импульса; A = const; g(ω) — форма неоднородноуширенной линии поглощения рабочего вещества, T и τ₂ – соответственно моменты времени, в которые начинают действовать третий и второй радиоимпульсы. Тогда, очевидно, сигнал на выходе СЭП запишется как

,                                                                          (3)

где .

Поскольку рабочее вещество обладает конечной шириной неоднородноуширенной линии поглощения, потребуем, чтобы спектральная функция первого поступающего на СЭП радиоимпульса была постоянна в пределах ширины линии, т. е.

.                                                                                            (4)

В качестве второго импульса будем использовать сигнал, спектр которого необходимо получить. Его спектральная плотность:

.                                                                                 (5)

Из (2) видно, что спектр эхо-сигнала зависит от спектров всех трех импульсов, так что представляется сомнительным, что для произвольного анализируемого сигнала в качестве управляющего импульса подойдет ЛЧМ-сигнал. Поэтому, будем искать такой управляющий сигнал, который на выходе СЭП позволил бы получить спектр исследуемого сигнала в реальном масштабе времени, и покажем, что каждому анализируемому сигналу должен соответствовать управляющий сигнал, спектр которого должен зависеть от свойств обрабатываемого сигнала. Очевидно, что в этом случае спектр третьего сигнала должен удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода

,                                                             (6)

где η и α – масштабные коэффициенты.

       С помощью обратного преобразования Фурье получаем

,                                                                  (7)

где.

Подставляя (5) в правую часть (7) получаем после несложных преобразований, используя свойства интеграла Фурье,

.                                                                                                  (8)

По спектру легко находится сам необходимый третий сигнал.

Для иллюстрации приведем результат, полученный численным моделированием. Пусть обрабатываемый сигнал есть простой радиоимпульс. На рис. 1 изображены модуль и фаза управляющего импульса, рассчитанные для параметров .

Таким образом, спектральный анализ неизвестного a priori сигнала в реальном времени затруднителен, так как управляющий сигнал определенным образом зависит от спектральных свойств исследуемого сигнала.

 

a)                                                                                                              b)

Рис. 1. Модуль (a) и фаза (b) управляющего импульса.

 

Интересен вопрос, каким должен быть спектр исследуемого сигнала, чтобы при использовании в качестве управляющего импульса сигнала ЛЧМ на выходе СЭП получался этот спектр в реальном масштабе времени.

Очевидно, в этом случае, спектр исследуемого сигнала S₂(ω) должен удовлетворять уравнению

,                                                                    (9)

где .

При  спектр ЛЧМ S₃(ω) с достаточной степенью точности описывается выражением [4]

                                                                  (10)

при  и равен нулю в остальном частотном диапазоне, β – скорость изменения частоты в импульсе.

Тогда уравнение (9) преобразуется к виду

.                                  (11)

При замене переменной  для S₂(ω) получаем

,                                          (12)

где .

Удобно еще сделать замену , при этом (12) переходит в

.                             (13)

После введения новой искомой функции  получается однородное уравнение Фредгольма 2-го рода

                                                                                         (14)

с ядром

,                                                                     (15)

.

Заменим ядро вырожденным [3], для этого разложим экспоненту  в ряд Тейлора , ограничившись членами до n-го порядка

.                                                       (16)

Таким образом, ядро примет вид:

                                                                  (17)

Подставляя вырожденное ядро (17) в уравнение (14) получаем

,                                                                                               (18)

где

.                                                                                  (19)

Подстановка (18) в (19) приводит к системе уравнений

                                                                                            (20)

для определения собственных чисел и собственных векторов квадратной матрицы C с элементами

                                                                 (21).

Задавая определенное число n, мы получим n собственных чисел  и n соответствующих им собственных векторов .

Каждому  и  будет соответствовать искомая функция

,                                                                                                         (22)

по которой легко найти спектр исследуемого сигнала, а по нему определить сам сигнал.

       Например, для ЛЧМ с параметрами  при получены решения, показанные на рис. 2.

 

l=1                                                                      l=3                                                                      l=5

a)

b)

Рис. 2. Модуль (a) и фаза (b) исследуемого сигнала для (слева), (в центре) и (справа).

 

Итак, можно сделать вывод, что при заданном управляющем сигнале, в частности ЛЧМ, в СЭП можно получить спектр в реальном масштабе времени только для сигналов, принадлежащих некоторому дискретному набору.

Форма неоднородной линии уширения  и спектр исследуемого импульса  входят в формулу (2) одинаковым образом, поэтому по аналогии с методами, развитыми в [2,5,8], СЭП можно использовать для экспресс-анализа формы неоднородной линии уширения.

 

Литература

 

1.         Баруздин С. А., Устинов В. Б. Эхо-процессор – многофункциональное устройство обработки сигналов. – В кн.: Методы функциональной электроники в реализации радиотехнических устройств: Сб. тр. – Киев: 1982, С. 88 – 92.

2.         Иванов Ю. В., О возможности анализа спектров сигналов в спиновых устройствах в реальном масштабе времени, Радиотехника и электроника, 1977, Т. 22, № 5, С. 1008-1013.

3.         Калиткин Н. Н., Численные методы, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М.: 1978. 512 с.

4.         Кук Ч., Бернфельд М., Радиолокационные сигналы Теория и применение, «Советское радио», М.: 1971. 568 с.

5.         Соколов С. Л., Иванов Ю. В., Гетеродинный способ анализа спектров при помощи эффекта спинового эхо, Радиотехника и электроника, 1979, Т. 24, № 1, С. 99-104.

6.         Устинов В. Б., Ковалевский М. М., Баруздин С. А. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986, Т. 50. № 8. С. 1495 – 1499.

7.         Устинов В. Б., Рассветалов Л.А., Ковалевский М.М. // Изв. ЛЭТИ. 1979. Вып. 135. С. 10-18.

8.         Петров Николай Иванов, Метод за анализ на спектър на сигнали, http://ecad.tu-sofia.bg/et/2000/Statii%20ET2000-III/Method%20for%20Analysis%20on%20the%20Spectrum%20of%20Signals.pdf.

 

Поступила в редакцию 16.02.2011 г.