Новые предложения к теории чисел

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета,

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент

ЧУО «БИП – институт правоведения», г. Минск.

Обобщая имеющиеся источники и полученные нами данные, предлагается следующее.

1. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение (х-у)^.(х+у)^.(х²+ху + у²) ^… (х^n-1+ x^n-2 y +… + у^n-2 x + y^n-1 ) = zⁿ ( xy0; n3; n – простое число ).

2. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение 2^.3^…(х-1)^.х - 2^.3^…(у-1)^.у =zⁿ в целых числах (ху; n 3; n-простое число).

3. Доказать, имеет ли решение уравнение х^n-1+x^{n -2}y+^…+y^n-2x+y^n-1=z^n-1 в целых числах ( n-простое число5, xy 0). При п=3 и х=5, y=3 равенство выполняется.

4. Доказать, имеет ли решение уравнение хⁿ +x^n-1y+^…+y^n-1x+yⁿ=z^m в целых числах (mn; m,n3; x y0)

5. Доказать, может ли сумма двух чисел a и b (a b) быть степенью n третьего целого числа c (a+b=cⁿ), если они имеют обратный порядок расположения цифр в числе (n3, количество цифр одинаковое).

6. Доказать, может ли уравнение xⁿyⁿ+s^pt^k=z^h иметь решения в целых числах при n, h,m,n,p,k3 – простые числа, xyst0.

7. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

8. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ- (x^m+y^m)=z^p иметь решения в целых числах (x≠y≠0; m≠n≠p; m<n; m,n,p≥3-простые числа).

9. Доказать, может ли уравнение(xⁿ+ x^n-1y+…+xy^n-1+yⁿ)-(x^m+x^m-1y+..+y^m-1x+y^m)=Z^p иметь решения в целых числах при nm, n3, m2 (m,n,p- простые числа, xy0, m  n  p ).

10. Доказать, имеет ли решение уравнение (xⁿ+yⁿ) – (s^m+t^m)=z^p решения в целых числах при , n, m3. xs, y, m,n,p – простые числа, m, x

11. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=zⁿ в целых числах при n5 ( n-простое число, xy0).

12. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, m n; xy0).

13. Доказать, имеет ли решение уравнение x(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

14. Доказать, имеет ли решение уравнение y(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

15. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-xⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

16. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-уⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

17. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-xⁿ=z^m иметь решения в целых числах при m, n≥5 ( x≠y≠0; m, n-простые числа, m n).

18. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-уⁿ=z^m иметь решения в целых числах при m, n≥5 ( x≠y≠0; m, n-простые числа, m n).

19. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

20. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ- (x^m+y^m)=z^p иметь решения в целых числах (x≠y≠0; m≠n≠p; m<n; m,n,p≥3-простые числа).

21. Доказать, существует ли бесконечное множество простых значений чисел n, при которых число 2ⁿ-1составное.

22. Доказать, являются ли числа: (2^.2-1); (2^.2)^.(2^.3)-1;^...(2^.2)^.(2^.3)^..(2^.(n+1))-1 простыми, бесконечно ли их количество.

23. Доказать, является ли простое число Мерсена р особым, если число рⁿ+ p^n-1+ p^n-2 +^…..+ p² + p + 1 также простое при нечётном количестве чисел рⁿ, p^n-1,…., p², p, 1(n≥2).

24. Cуществует ли простое число к>3, для которого число рⁿ + р^n-1 +...+ р² + p + 1(где р=2^к- 1) является простым при нечётном количестве чисел рⁿ,p^n-1,…,p,1(n≥2).

25. Доказать, является ли простое число Мерсена р особым, если число рⁿ+np+1 также простое при простом n.

26. Доказать, может ли уравнение xⁿ+ nxy+yⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах (х≠y≠0; n-простое число; n≥3).

27. Доказать, может ли уравнение xⁿ+xⁿyⁿ+yⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах (x≠y≠0; n-простое число; n≥3).

28. Доказать, может ли уравнение x^m+x^myⁿ+yⁿ=z^p иметь решения в целых числах (х≠y≠0; m,n,p – простые числа; m,n,p≥3; m≠n≠p).

30. Доказать,что уравнение x^m + yⁿ = z^p не имеет решений в целых числах (m,n,p3; xy0, m≠n≠p).

31. Доказать, что число вида: х^n-1+x^{n -2}y+^…+y^n-2x+y^n-1 не делится на n (n3, xy0, n-простое число.

32. Доказать, может ли простое р делить число вида: хⁿ + myⁿ, где m – данное целое, а x и y – взаимно простые целые числа ( mn; ; n≥3).

33. Доказать, может ли простое р делить число вида: хⁿ + my^p, где m – данное целое, а x и y – взаимно простые целые числа ( mnp ; p, n≥3).

34. Доказать, имеет ли уравнение:

решения в рациональных числах (n3, ху0).

35. Доказать, существует ли бесконечное количество значений простых нечётных чисел m и n, при которых число 2^m + 2ⁿ +1 – простое (mn).

36. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение xⁿ + n=yⁿ, где n – простoe числo xy0, mn (m,n3).

37. Доказать, является ли число 2 ^{x +xy+…+yx+y} - 1 простым при n 3 (х, число n –простое) при нечётном количестве чисел xⁿ, x^n-1 y,..,y^n-1, yⁿ.

38. Доказать, что сумма  четного количества простых нечетных чисел является четным числом (при  имеем известный случай).

39. Доказать делится или не делится уравнение:  на  (;).

40. Доказать, что в любых арифметических прогрессиях (1) и (2):

                                                                                (1)

                                                                            (2)

для которых  и  взаимно простые числа, содержится бесконечно много простых чисел.

41. Доказать, что уравнение:  не имеет решений в целых числах ( - простые числа, ,).

42. Доказать, что если p - простое число и показатель степени уравнения , то оно не имеет решений в целых числах  независимо от того, делит или не делит показатель р числителей чисел Бернулли.

43. Доказать, что уравнение  не имеет решений в целых числах .

44. Доказать, имеет ли уравнение х²+y²+x³+y³+….+xⁿ+yⁿ=Zⁿ (при n3, х) решения в целых числах.

Поступила в редакцию 24.11.2011 г.