О спектре дифференциального оператора с краевыми условиями, зависящими от спектрального параметра

Филиппенко Виктор Игнатьевич,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Математики Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса.

В настоящей работе исследуется спектр линейного несамосопряженного оператора, порожденного обыкновенной дифференциальной операцией второго порядка в пространстве вектор-функций и краевым условием, зависящим от спектрального параметра.

1. Пусть  - замкнутый линейный оператор, порожденный обыкновенной дифференциальной операцией второго порядка

 (1)

и краевым условием

, (2)

где  - вектор-столбец,  - постоянная  - матрица с элементами  и  - переменные матрицы той же размерности. Используем следующие обозначения:  - комплексная плоскость,  - единичная матрица,  - собственные значения матрицы  - спектр оператора . В пространстве  норма вводится следующим образом: .

Обозначим через  - область определения оператора . Она состоит из вектор-функций, которые удовлетворяют следующим условиям:  абсолютно непрерывна в каждом конечном отрезке  удовлетворяет краевому условию (2).

Спектр задачи (1) – (2), когда  финитная функция и  не зависят от спектрального параметра, детально изучен М.Ф. Федорюком [1].

 Пусть, матрицы-функции , определяющие краевое условие (2), удовлетворяют условиям: а) ранг прямоугольной матрицы  равен  при любом ; б)  - целые матричные функции параметра .

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть . Тогда оператор  имеет не более чем счетное множество изолированных собственных значений, а его непрерывный спектр состоит из лучей .

2. Предположим, что  и рассмотрим асимптотику решений уравнения . Для этого перейдем к рассмотрению матричного уравнения  и перепишем его в виде

. (3)

Рассматривая (3) как уравнение с правой частью и применяя метод вариации произвольных постоянных, найдем

 (4)

где  и  - постоянные матрицы.

Положим , тогда уравнение (4) примет вид

 (5)

Положим . Подставляя это выражение в соотношение (5), получим интегральное уравнение

 (6)

Пусть  есть часть комплексной плоскости, принадлежащая множеству . Тогда уравнение (6) имеет решение, непрерывное относительно пар  и голоморфное относительно  при любом фиксированном . Очевидно,  будет тогда решением уравнения (5), удовлетворяющим исходному уравнению (3). Учитывая ограниченность матрицы , приходим к асимптотической формуле , имеющей место, если .

Если положить , то уравнение (6) примет вид

Если предположить, что решение  представимо в виде , то и в этом случае, так же как и выше аналогично предыдущему, получим равномерную относительно параметра  асимптотическую оценку , если . Имеет место теорема.

Теорема 2. Если , то решения  и  уравнения (3) голоморфны относительно параметра  и, если , то выполняются соотношения

равномерно относительно  в области , принадлежащей множеству .

Теорема 3. Если , то спектр оператора  состоит из лучей  и не более чем счетного множества собственных значений, предельные точки которого лежат на указанных лучах.

В самосопряженном случае по лучам  можно определить кратность непрерывного спектра оператора на различных участках - оси.

Литература

1.                  Федорюк М.В. Спектральный анализ и задача о рассеянии для оператора . // Дифференциальные уравнения, 1972, № 6. – С. 986 – 994.

Поступила в редакцию 18.03.2011 г.