О спектре дифференциального оператора с
краевыми условиями, зависящими от спектрального параметра
Филиппенко
Виктор Игнатьевич,
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры Математики Южно-Российского государственного университета
экономики и сервиса.
В настоящей работе исследуется
спектр линейного несамосопряженного оператора, порожденного обыкновенной
дифференциальной операцией второго порядка в пространстве вектор-функций
и краевым условием, зависящим от спектрального параметра.
1. Пусть 
- замкнутый линейный
оператор, порожденный обыкновенной дифференциальной операцией второго порядка
(1)
и краевым условием
, (2)
где 
- вектор-столбец, 
- постоянная 
- матрица с элементами
и 
- переменные матрицы
той же размерности. Используем следующие обозначения: 
- комплексная
плоскость, 
- единичная матрица, 
- собственные значения
матрицы 
- спектр оператора 
. В пространстве 
норма вводится
следующим образом: 
.
Обозначим через 
- область определения
оператора . Она состоит из вектор-функций,
которые удовлетворяют следующим условиям: 
абсолютно непрерывна в
каждом конечном отрезке 
удовлетворяет краевому
условию (2).
Спектр задачи (1) – (2), когда 
финитная функция и 
не зависят от спектрального
параметра
, детально изучен М.Ф. Федорюком [1].
Пусть, матрицы-функции 
, определяющие краевое условие (2), удовлетворяют условиям:
а) ранг прямоугольной матрицы 
равен 
при любом ; б) - целые матричные
функции параметра .
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть 
. Тогда оператор имеет не более чем
счетное множество изолированных собственных значений, а его непрерывный спектр
состоит из лучей 
.
2. Предположим, что 
и рассмотрим
асимптотику решений уравнения 
. Для этого перейдем к рассмотрению матричного уравнения 
и перепишем его в виде
. (3)
Рассматривая (3) как уравнение с
правой частью и применяя метод вариации произвольных постоянных, найдем
(4)
где 
и 
- постоянные матрицы.
Положим 
, тогда уравнение (4) примет вид
(5)
Положим 
. Подставляя это выражение в соотношение (5), получим интегральное
уравнение
(6)
Пусть 
есть часть комплексной
плоскости, принадлежащая множеству 
. Тогда уравнение (6) имеет решение, непрерывное относительно
пар 
и голоморфное
относительно 
при любом
фиксированном 
. Очевидно, 
будет тогда решением
уравнения (5), удовлетворяющим исходному уравнению (3). Учитывая ограниченность
матрицы 
, приходим к асимптотической формуле 
, имеющей место, если 
.
Если положить 
, то уравнение (6) примет вид
Если предположить, что решение 
представимо в виде 
, то и в этом случае, так же как и выше аналогично предыдущему,
получим равномерную относительно параметра асимптотическую оценку
, если . Имеет место теорема.
Теорема 2. Если , то решения 
и уравнения (3) голоморфны
относительно параметра и, если , то выполняются соотношения 
равномерно относительно в области , принадлежащей множеству 
.
Теорема 3. Если , то спектр оператора состоит из лучей 
и не более чем
счетного множества собственных значений, предельные точки которого лежат на
указанных лучах.
В самосопряженном случае по лучам
можно определить
кратность непрерывного спектра оператора на различных участках - оси.
Литература
1.
Федорюк М.В. Спектральный
анализ и задача о рассеянии для оператора 
. // Дифференциальные уравнения, 1972, № 6. – С. 986 – 994.
Поступила в редакцию 18.03.2011 г.