Об интегрируемости общего уравнения Риккати

Ковалевская Наталья Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и математической физики Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого.

В статье построены некоторые решения общего уравнения Риккати.

Ключевые слова: общее уравнение Риккати, мультипликативный интеграл.

Общее уравнение Риккати часто встречается в различных физических приложениях, например, в теории гравитационных волн [1]. Решение общего уравнения

                                                                                              (1)

известно в случае, когда коэффициенты (1) (предполагается, что связаны некоторыми соотношениями [2]. В [3] доказано, что (1) имеет решение в явном виде, если один из коэффициентов является произвольной функцией, а два других выражаются через него определенным образом.

Докажем, что решение (1) может быть записано в явном виде, если два коэффициента этого уравнения – произвольные функции, а третий – выражается через них. Замена переменных

Психолог в Москве

Психологическое консультирование, тренинги психолога Елены Новоселовой

s-boutique.ru

                                                                                                   (2)

приводит (1) к дифференциальному уравнению второго порядка [4]

                                                                   (3)

которое можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка:

                                                                (4)

Систему (4) удобно представить в виде матричного уравнения , где  с матрицей коэффициентов

                                                                                        (5)

Известно [5], что фундаментальная матрица решений системы дифференциальных уравнений – это мультипликативный интеграл от матрицы коэффициентов  В случае функциональной коммутативности матрицы  (матрица  называется функционально-коммутативной, если

                                                        (6)

мультипликативный интеграл представим матричной экспонентой  Матрица (5) не удовлетворяет (6), поэтому разложим ее в сумму двух матриц следующим образом:

                                            (7)

и воспользуемся правилом вычисления мультипликативного интеграла от суммы двух матриц [5]:

                                                                                            (8)

где  

Очевидно, в разложении (7) матрица  - функционально-коммутативная, поэтому мультипликативный интеграл от нее легко вычисляется:  а матрица  при этом имеет вид:

                                                             (9)

Некоммутативная (в общем случае) матрица  удовлетворяет (6), если или

                                                                                       (10)

где  - произвольная постоянная. В этом случае  и мультипликативный интеграл от  легко вычисляется:

            (11)

Следовательно, фундаментальная матрица решений системы (4), вычисленная по соотношению (8), имеет следующую структуру:

Тогда решение (1) можно найти по формуле (2):

                           (12)

где  - произвольная постоянная, которая должна быть определена из начального условия.

Прямой подстановкой (12) в (1) ( в случае, когда коэффициент  выражен через  по формуле (10)) получаем, что  является решением уравнения Риккати вида

Легко вычисляется и фундаментальная матрица решений системы (4) (и, следовательно, решение уравнения (1)) в случае, когда коэффициенты  - произвольные функции, а  выражается через них. Если положить в (5) функцию  вида  где  - произвольная постоянная, тогда функционально-коммутативная матрица  типа (9) будет выглядеть следующим образом:  Мультипликативный интеграл от  имеет структуру, аналогичную структуре (11) и фундаментальная матрица решений системы (4) при выполнении условия (8) легко вычисляется. Решение уравнения (1) будет иметь вид:

                                          (13)

где  - произвольная постоянная.

Подставляя  в (1) по формуле (13), убеждаемся, что  является решением уравнения (1), которе в данном случае выглядит так:

Аналогично, найдем решение системы (4), если функция  выражается через коэффициенты - произвольные функции.

Пусть  тогда выражение для  записывается следующим образом:

                                                                                       (14)

Поэтому в  имеем:  С другой стороны, для коэффициента  в матрице  имеем: . Следовательно, функционально-коммутативная матрица  будет такова:  и решение уравнения (1), найденное, как и в двух других случаях, по формуле (2), уже не содержит гиперболических функций и имеет только одну произвольную постоянную :

                               (15)

Таким образом, при условии (14) уравнение (1) принимает следующую форму:

Аналогично, при подстановке (15) в последнее уравнение получаем, что  есть его решение.

Итак, общее уравнение Риккати имеет решение в квадратурах, если любой из его коэффициентов выражается через другие два. В случае произвольных решение представимо в виде (12), если же произвольными являются функции , то решение имеет форму (13). Когда коэффициент  зависит от произвольных , общее решение уравнения (1) записывается в виде (15). Во всех рассмотренных случаях постоянная  определяется начальными условиями, а так как в решения (12) и (13) входят константы  то для различных значений  получим семейства решений уравнения Риккати.

Литература

1.                  Фихтенгольц И.Г. ТМФ, т. 105, №2, 1995.

2.                  Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976.

3.                  Kovalevskaya N.M. On some cases of integrability of a general Riccati equaton, ArXiv: math. CA/0 604243v1 11Apr 2006.

4.                  Матвеев Н.М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, СПб, изд. СпбГУ, 1995.

5.                  Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Наука, 2010.

Поступила в редакцию 27.04.2011 г.