О делимости чисел при сравнении по ненулевому рациональному модулю

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета,

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент ЧУО «БИП – институт правоведения», г.Минск.

Из литературных источников [1, 2] известны свойства сравнения, т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа, если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с, а и b при делении на их на c дают одинаковые остатки.

Нами показано [3], что всякое натуральное число сравнимо по ненулевому рациональному модулю независимо от того делится или не делится а на k (а, так как это аналогично сравнению а ( в нашем случае b=0), с может быть целым или дробным числом 1 (с=а:k). При этом k может принимать значения 2,3,…,а-1 и возникать частный случай, когда а:k=c – целое или дробное число. Это означает, что а, где (а-b):c=f, где f-целое или дробное число ( с=2,3,…,(а-b)-1. Это означает, что а0(mod ), где а:с=к- дробное или целое число 1. Причем а^.с 0(mod a).Проиллюстрируем на обычном числовом примере: 350(mod 5)(mod); 350(mod 3)0(mod ), где f может быть дробным или целым числом 1 (c=2,3,…,34; a=35; a:c=f), 35^.110(mod35).

Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение [4-7], т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел. Использование сравнения по ненулевому рациональному модулю имеет особое значение для математики в области теории чисел для доказательства теорем как элементарными, так и неэлементарными способами.

Таким образом, классы сравнения по ненулевому рациональному модулю можно складывать, перемножать очевидным образом, как это описано в литературе [1, 2, 4].

Обобщая источники и полученные данные [1-4], предлагается следующее.

Заказать корпоратив на новый год

заказать корпоратив на новый год

prazdnik-pro.com

1. Доказать, может ли уравнение (xⁿ+x^n-1y+…+xy^n-1+yⁿ)–(x^m+x^m-1y+…+y^m-1x+y^m)=z^p иметь решения в целых числах при m, n 3, m,n,p –простые числа, mnp, хy0.

2. Доказать, имеет ли решение уравнение (xⁿ+yⁿ) – (s^m+t^m)=z^p решения в целых числах при m, n 3. x yst 0, m,n,p – простые числа, mnp.

3. Доказать, имеет ли решение уравнение xⁿ(x^n-1+x^n-2 +… +x+1) + yⁿ(y^n-1+y^n-2+…..+y+1)=z^m решения в целых числах при m, n 3. x y0, mn – простые числа.

4. Доказать, существует ли бесконечное количество значений простого числа n, при котором число 2^n-1 – 1 простое.

5. Доказать, существует ли бесконечное количество значений простых чисел m и n, при которых число 2^m + 2ⁿ +1 – простое.

6. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение (х-у)^.(х+у)^.(х²+ху + у²) ^… (х^n-1+ x^n-2 y +… + у^n-2 x + y^n-1 ) = zⁿ ( xy0; n3; n – простое число ).

7. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение 2^.3^…(х-1)^.х - 2^.3^…(у-1)^.у =zⁿ в целых числах (ху; n 3; n-простое число).

8. Доказать, имеет ли решение уравнение х^n-1+x^{n -2}y+^…+y^n-2x+y^n-1=z^n-1 в целых числах (n-простое число5, xy 0). При п=3 и х=5, y=3 равенство выполняется.

9. Доказать, имеет ли решение уравнение хⁿ +x^n-1y+^…+y^n-1x+yⁿ=z^m в целых числах (mn; m,n3; x y0)

10. Доказать, может ли сумма двух чисел a и b (a b) быть степенью n третьего целого числа c (a+b=cⁿ), если они имеют обратный порядок расположения цифр в числе (n3, количество цифр одинаковое).

11. Доказать, может ли уравнение xⁿyⁿ+s^pt^k=z^h иметь решения в целых числах при n, h,m,n,p,k3 – простые числа, xyst0.

12. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 (x≠y≠0; n-простое число).

13. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ- (x^m+y^m)=z^p иметь решения в целых числах (x≠y≠0; m≠n≠p; m<n; m,n,p≥3-простые числа).

14. Доказать, может ли уравнение(xⁿ+ x^n-1y+…+xy^n-1+yⁿ)^.(x^m+x^m-1y+..+y^m-1x+y^m)=Z^p иметь решения в целых числах при nm, n3, m2 (m,n,p- простые числа, xy0).

15. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=zⁿ в целых числах при n5 ( n-простое число, xy0).

16. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, m n; xy0).

17. Доказать, имеет ли решение уравнение x(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

18. Доказать, имеет ли решение уравнение y(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

19. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-xⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

20. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-уⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 ( x≠y≠0; n-простое число).

21. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-xⁿ=z^m иметь решения в целых числах при m, n≥5 ( x≠y≠0; m, n-простые числа, m n).

22. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-уⁿ=z^m иметь решения в целых числах при m, n≥5 ( x≠y≠0; m, n-простые числа, m n).

Литература

1.                  Боревич З.И. Теория чисел/ З.И Боревич., Н.Р. Шафаревич. М.: Наука.-1985.-38 с.

2.                  Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел/ М.М. Постников М.: Наука – 1980-239с.

3.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу доказательства теоремы Ферма: сравнение по ненулевому рациональному модулю/И.И. Карпунин, Э.Д.Подлозный. Материалы XVI Международной научно-технической конференции. Информационная среда вуза. Ивановский государственный архитектурно-строительный университет. Иваново.-2009. – С.439-443.

4.                  Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма/ Г.Эдвардс. М.:Мир. – 476 с.

5.                  Карпунин И.И.О делимости чисел./ И.И.Карпунин, Э.Д. Подлозный. Информационная среда среда вуза: Материалы ХIV Международной научно-технической конференции. Госуд.архитектурно-строительная академия. – Иваново. 2007.- С.501-506.  

6.                  Карпунин И.И. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю/И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный. Тезисы докладов 3-й Международной конференции. – М.: МФТИ, 2008. – С.142-144.

7.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю. Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им Н.Драгоманова. Киев.- 2010.- с.139.

Поступила в редакцию 17.05.2011 г.