О множестве рациональных чисел (дробных и целых), больших 1
Карпунин Иван Иванович,
доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета,
Подлозный Эдуард Дмитриевич,
кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент ЧУО «БИП – институт правоведения», г.Минск.
Из литературных источников [1, 2] известны свойства сравнения, т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа, если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с и а и b при делении на их на c дают одинаковые остатки.
Нами показано
[3-5], что всякое натуральное число сравнимо по ненулевому рациональному модулю
независимо от того делится или не делится а на k (так как это аналогично
сравнению а 
0(mod
a:k) (в нашем случае b=0), с может быть целым или дробным числом 
1 (с=а:k). При этом k
может принимать значения 2,3,…,а-1 и возникать частный случай, когда а:k=c –
целое или дробное число. Это означает, что аb(mod f), где (а-b):c=f, где f-целое или
дробное число (с=2,3,…,(а-b)-1) после деления (а-b) на f).
В случае
сравнения по ненулевому рациональному модулю сравнение а 0(mod a:k) равноценно а. к0mod a ).
Следует при
этом заметить, что при делении а на к, либо а-b на с образуются множества
дробных и целых чисел в зависимости от значения к и с, больших 1. Это означает,
что при делении числа на множество указанных чисел (дробных или целых 1) всегда получается
целое число
Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение [5, 6], т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел.
На обычном
числовом примере имеем: 350(mod 5)
(mod
); 350(mod 3
)0(mod 
), где f может быть дробным или целым
числом 1
(c=2,3,…,34; a=35; a:c=f), 35.110(mod35).
Таким образом, классы сравнения по ненулевому рациональному модулю можно складывать, перемножать очевидным образом, как это описано в литературе [1, 2, 4-6].
Литература
1. Боревич З.И. Теория чисел/ З.И Боревич., Н.Р. Шафаревич. М.: Наука.-1985.-38 с.
2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел/ М.М. Постников М.: Наука – 1980-239с.
3. Карпунин И.И. Подлозный Э.Д. О делимости чисел/ Информационная среда вуза: Материалы ХIV Международной научно-технической конференции. Госуд.архитектурно-строительная академия. – Иваново. 2007.- С.501-506.
4. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю. Тезисы докладов 3-й Международной конференции. – М.: МФТИ, 2008. – С.142-144.
5. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю. Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им Н.Драгоманова. Киев.-2010.- с.139
6. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О теореме Ферма и её доказательстве/ Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск., №10(52), 2010.-С.107-109.
Поступила в редакцию 17.05.2011 г.