Теорема Мура и Шеннона и управление надежностью зерноперерабатывающих предприятий

Курочкин Валентин Николаевич,

доктор технических наук, профессор кафедры «Экономика и управление в АПК»,

Кущева Елена Николаевна,

лаборант кафедры «Землеустройство и кадастры».

Азово-Черноморская государственная агроинженерная академия.

Цель статьи – разработка теоретической базы управления надежностью зерноперерабатывающих систем. На основе концепции, разработанной Дж. Нейманом, Э. Муром и К. Шенноном, сделана попытка создать зерноперерабатывающую систему с заданной надежностью из элементов недостаточной надежности.

Ключевые слова: технический сервис, зерноперерабатывающее предприятие, надежность, эффективность функционирования.

Современные зерноперерабатывающие системы представляют собой высокопроизводительные сложные технические системы с высокой стоимостью (таблица 1). Простои системы вызывают снижение выпуска продукции, недополучение прибыли, нарушение договорных поставок.

Таблица 1.

Стоимость оборудования зерноперерабатывающих систем по данным ОАО «Агролизинга».

Например, производительность мельничных систем «Start-Mill» – до 1000 тонн в сутки, 42 т/час, если в неработоспособном состоянии она будет находится всего 5 минут в час, то потери производительности составят 84 тонны, или около 70 тонн муки, в стоимостном выражении потери составят – 1,75 миллионов рублей в сутки или 630 миллионов рублей в год, или 21 миллионов долларов в год, что сравнимо со стоимостью фронтового бомбардировщика или трех боевых вертолетов, то есть «игра стоит свеч».

В сложившихся ценовых условиях затраты на создание подсистемы технического сервиса зерноперерабатывающих систем оправданы. Цель статьи – разработка теоретической базы управления надежностью зерноперерабатывающих систем. Первым шагом к созданию подсистемы технического сервиса являются теоретические исследования возможностей управления надежностью этих сложных систем.

В данном направлении основополагающие работы выполнили Дж. Нейман, который показал как посредством использования ненадежных логических элементов типа «штрих Шеффера» можно построить новый элемент, с более высоким уровнем надежности, при сохранении прежнего принципа функционирования [Нейман Дж.]. Штрих Шеффера – логический элемент с двумя входами и одним выходом, реализующий логические функции  (не и не  ).

Развивая мысль Дж. Неймана, Э. Мур и К. Шеннон на примере системы релейных сетей показал, что из реле недостаточной надежности можно создать сеть с заданной надежностью. Для каждого числа элементов были исчислены границы показательной надежности и установлено, что зависимость между надежностью реле и сети имеет  – образную форму [Moore E.E., Shannon C.E.]. В данной работе сделана попытка распространить данную концепцию на зерноперерабатывающие системы.

Элементами в этой системе будут не реле, а детали зерноперерабатывающего оборудования (таблица 1). Предположили, что управление надежностью зерноперерабатывающей системы возможно посредством воздействия на вероятности состояний системы, что изменяет механизм восстановлений, параметры потоков отказов и восстановлений.

S.C. Saunders, Z.W. Birndaum, Y.D. Esary впервые распространили идеи Э. Мура и К. шеннона на класс естественных (монотонных) структур, основным свойством которых является то, что замена отказавшего элемента на новый (отремонтированный) элемент не приводит к отказу в системе. В этом плане зерноперерабатывающая система находится в выигрышной ситуации в сравнении с, например, авиацией или космическими системами, в которых отказ приводит к фатальным результатам.

Вначале исследовали вероятность того, что зерноперерабатывающая система работоспособна, в зависимости от вероятности того, что единичная машина (оборудование) работоспособна. Примеры единичных машин приведены в таблице 1.

Из теории известно [Барлоу Р., Прошан Ф.], что «для малых «» желательно достигнуть величины , в то время как для больших  желательно достигнуть величины ». В этом случае зерноперерабатывающая система будет надежна, чем составляющие ее единичные машины, и функция  будет иметь  – образную форму.

Рис. 1. Условная схема параллельно-последовательного расположения оборудования зерноперерабатывающей системы.

Вероятность отказа машин № 1–4 составляет , тогда надежность зерноперерабатывающей системы:

Выполнив расчеты (таблица 2), получили график (рисунок 2).

Таблица 2.

Расчет вероятностей безотказной работы зерноперерабатывающей системы.

Рис. 2. Вероятность безотказной работы зерноперерабатывающей системы в зависимости от вероятности работы элементов 1–4.

График (рисунок 2) действительно носит  – образный характер, и начиная со значения надежность системы выше, чем надежность составляющих ее элементов. Отсюда следует первый практический вывод – безотказность элементов зерноперерабатывающей системы . В данном случае , а для других схем его нужно рассчитать по этой же методике.

Правило 1. Безотказность элемента всегда должна быть выше критического значения для данной схемы расположения оборудования зерноперерабатывающей системы.

В общем случае:

где  – число машин в зерноперерабатывающей системе;  – множество способов взаимного расположения машин в технологической линии.

Теперь обратимся к теореме Мура и Шеннона, которая определена следующим образом.

Пусть  есть произвольная функция надежности системы. Если  для некоторого  , тогда  для  и  для.

Это означает, что для любой системы функция  пересекает функцию  один раз (рисунок 2), причем пересечение этой диагонали происходит снизу вверх (доказательство теоремы приведено в [Барлоу Р., Прошан Ф.]. Заметим, что  соответствует  в нашем примере (рисунок 2).

Вторая теорема Мура и Шеннона [Курочкин В.Н.]: пусть  есть кворум-функция системы, состоящей так же из  элементов. Если для некоторого   выполняется условие , то ,  и , .

Из данной теоремы выведено правило 2: для достаточно сложной зерноперерабатывающей системы всегда может создана из ее элементов надежностью , такая технологическая структура, надежность которой  будет выше надежности исходных элементов, причем надежность  может быть сколь угодно приближена к единице слева.

Вывод: Управление надежностью зерноперерабатывающей системы возможно в силу теорем Мура и Шеннона, в соответствии с сформулированными правилами № 1 и № 2.

Литература

1.                  Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. – перевод с англ., под редакцией Б.В. Гнеденко. – Москва: Советское Радио, 1969. – 488 с.

2.                  Курочкин В.Н. Эффективность и надежность функционирования сложных организационных систем. – Ростов-на-Дону, ЗАО «Ростиздат», 2010. – 272 с.

3.                  Нейман Дж. Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонентов / В сборнике статей «Автоматы», перевод с англ. под ред. А.А. Ляпунова. – Москва: Иностранная литература, 1956.

4.                  Moore E.E. and C.E. Shannon, 1956. Reliable circuits using less reliable relays, Y. of the Franklin Institute, V. 262, Pt. Y. p. 191–208 and V. 262, Pt. 2, p. 281–297.

Поступила в редакцию 18.09.2012 г.