Новые предложения к теории чисел

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета,

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент ЧУО «БИП – институт правоведения», г.Минск.

Обобщая полученные нами данные [1-3], предлагается следующее:

1.                  Доказать, что, если при простом n, число 2ⁿ – 1 – простое, то число 2ⁿ + 1 – составное и наоборот (при том же значении n).

2. Доказать, является ли число 2^. 3 5^…..p + 1 простым, где 2^. 3 5^…..p - произведение простых чисел.

3. Доказать, имеет ли решения уравнение x^m + mnxy + yⁿ = z^p в целых числах, если mnp, m,n,p3, m, n, p – простые нечётные числа, xy0, х, у – простые нечётные числа.

4. Доказать, имеет ли решение выражение 3+5+7+^….+ n = m^р в целых числах, где 3,5,7,^…., n - простые нечётные числа, p3.

5. Доказать, имеет ли решение уравнение х(х^n-1+x^n-2+^….+x + 1) + y(y^n-1+y^n-2 +^….+y+1)=z^m , где mn; m,n3; ху0, х, у,z - целые простые нечётные числа.

6. Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение хy(х^m+y^m )=zⁿ, где х, у,z - целые простые нечётные числа; m,n- простые нечётные числа; m, n5, xy0, mn0.

7. Доказать, имеет ли решение выражения 2^. 3 5^…..p + 1 = zⁿ решение в целых числах, где:

1) 1 ^. 2^. 3 5^…..p - произведение простых чисел, n3;

2) 1 2^.3^.4^.5^…m – произведение натуральных чисел (^.1 2^.3^.4^.5^…m = z^n.).

Литература

1.                  Карпунин И.И, Подлозный Э.Д. О делимости чисел. Информационная среда среда вуза: Материалы ХIV Международной научно-технической конференции. Госуд.архитектурно-строительная академия. – Иваново. 2007.- С.501-506.

2.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю. Тезисы докладов 3-й Международной конференции. – М.: МФТИ, 2008. – С.142-144.

3.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю. Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им Н.Драгоманова. Киев.-2010- C.139.

Поступила в редакцию 30.03.2012 г.