Об одной теореме теории чисел

Об одной теореме теории чисел

Кулинич Владимир Иванович,

кандидат технических наук.

1. Введение

В данной работе доказывается методами элементарной математики «большая» или «последняя» теорема Ферма.

Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность изложения доказательства объясняется желанием автора увеличить уверенность читателя в справедливости промежуточных результатов.

Теорема доказывается методом «от противного». Сначала предполагается выполнение основного равенства теоремы, а затем показывается нарушение основного равенства, приводящее к выполнению утверждения теоремы.

2. Формулировка теоремы

В терминах современной математики формулировка теоремы следующая:

Для любого натурального числа

уравнение (1)

не имеет натуральных решений.

3. Обозначения

3.1. - множество натуральных (целых, положительных) чисел;

3.2. - число принадлежит множеству , т.е. - целое и > 0;

3.3. или - Наибольший Общий Делитель чисел , где - общие сомножители в разложении чисел на простые сомножители.

Примечание: Здесь и в дальнейшем символ ”*” означает операцию умножения.

Если , то числа - взаимно простые.

Свойство НОД: Если , то , где .

4. Доказательство вспомогательных лемм

4.1. Лемма 1

Условие: Если существуют числа , для которых выполняется равенство (1), то существуют числа , для которых справедливо равенство:

(2)

и выполняются условия:

(3)

Доказательство:

Пусть есть числа , которые удовлетворяют условию леммы. Для чисел существует число . Тогда можно записать эти числа в виде:

, где .

Подставим числа в таком виде в равенство (1):

и, сократив на множитель , получаем равенство (2).

Докажем выполнение условия (3). Предположим, что , тогда:

и из равенства (2) получаем:

Что означает существование делителя для числа Z: .

Следовательно, .

Но тогда , что противоречит предположению .

Поэтому - .

Аналогично доказывается выполнение условия и .

Таким образом, мы получили числа , для которых выполняется равенство (2) и условия (3).

Лемма 1 доказана.

Примечание: Числа , полученные в Лемме 1, называются «примитивными» [1], для их получения достаточно определить НОД исходных чисел и разделить на него исходные числа.

4.2. Свойства «примитивных» чисел

4.2.1. (или ) (4)

Если допустить, что , то равенство (2) получает вид: и тогда . Поскольку при число не является целым, число не может содержать такого натурального сомножителя. Следовательно .

Без нарушения общности далее будем считать, что .

4.2.2. (5)

Если допустить, что , то . Учитывая, что из равенства (2) , получаем . Поскольку это противоречит условию 4.2.1 ( и ), следовательно .

4.2.3. выполняется, поскольку и (из условия 4.2.1);

4.2.4. Если в равенстве (2) показатель степени , т.е. четное число, то:

; и (или и ) (6)

Если допустить, что ; и , то подставив эти значения в равенство (2), разложив биномы на составляющие и сложив члены с равными коэффициентами, получаем:

Сократим в левой и правой части на 2 и учтём, что , тогда:

В левой части получаем НЕЧЁТНОЕ число, а в правой – ЧЁТНОЕ число, следовательно: X и Y не могут быть одновременно нечётными числами при .

Примечания:

1. В дальнейшем (при рассмотрении случая ) считается, что , т.е. является НЕЧЁТНЫМ числом.

2. В случае +1 свойство ЧЁТНОСТИ чисел не используется в доказательстве теоремы.

4.3. Лемма 2

Условие: Если для чисел выполняется равенство

(4.3.1)

и известно, что , справедливы равенства:

и (4.3.2)

Доказательство:

Условие означает, что числа не содержат одинаковых сомножителей в разложении на простые сомножители. Т.е. для чисел и для всех и справедливо неравенство .

Для выполнения равенство (4.3.1) необходимо, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число , т.е. его разложение на простые сомножители имеет вид:

(4.3.3)

Для выполнения равенство (4.3.1) необходимо также, чтобы число содержало все сомножители, входящие в число , т.е. его разложение на простые сомножители имеет вид:

(4.3.4)

Это означает, что справедливы равенства и .

Следствия:

1. Подставив число из равенства (4.3.3) и число из равенства (4.3.4) в равенство (4.3.1), получаем:

, откуда .

Следовательно: и или и

2. Равенство означает, что и тогда и .

5. Доказательство теоремы

Доказательство теоремы проводится отдельно для случая, когда (т.е. показатель степени в равенстве (2) – НЕЧЕТНОЕ число) и когда (т.е. показатель степени – ЧЕТНОЕ число).

Рассмотрим случай НЕЧЕТНОГО показателя степени в равенстве (2).

5.1. Пусть и для чисел выполняется равенство (2).

Тогда можно записать: или

(7)

Разложим левую часть равенства (7) на сомножители:

(8)

Пусть , где и , тогда можно разложить числа и на сомножители: (8.1)

Для сомножителей справедливы соотношения:

5.1.1. - из условия ;

5.1.2. , т.к., если допустить, что , то получаем: и , т.е. , что противоречит свойствам чисел (см. пункт 4.2) .

5.1.3. , т.к. ,если допустить, что , то .

Но при получаем , что противоречит условиям (см. пункт 4.2), а при (т.е. равно 2,3,…) получаем, что , и более, что противоречит условию (см. пункт 4.2) .

5.1.4. . Обозначим полином в равенстве (8) через и подставим для их выражения из равенств (8.1), тогда получаем: , и, сократив на , получаем:

(9)

Если допустить, что , то из равенства (9) получаем .

Но так как , это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (9) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:

и , где .

И тогда справедливо равенство:

(9.1)

5.2. Из равенства (7) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство , преобразуем его, разложив на сомножители правую часть:

(10)

Пусть , где и , тогда можно разложить числа ина сомножители: (10.1)

Для сомножителей справедливы соотношения:

5.2.1. - из условия ;

5.2.2. , т.к. ,если допустить, что , то .

Но из свойств чисел (см. пункт 4.2).

Поэтому . Отсюда также следует, что .

5.2.3. , так как .

5.2.4. . Обозначим полином в равенстве (10) через и подставим для их выражения из равенств (10.1), тогда получаем: , и, сократив на , получаем:

(11)

Если допустить, что , то из равенства (11) получаем .

Но так как , это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (11) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:

и , где .

И тогда справедливо равенство:

(11.1)

5.3. Из равенства (7) переносом слагаемого в правую часть получаем равенство , преобразуем его, разложив на сомножители правую часть:

(12)

Пусть , где и , тогда можно разложить числа и на сомножители:

(12.1)

Для сомножителей справедливы соотношения:

5.3.1. - из условия ;

5.3.2. , т.к. ,если допустить, что , то .

Но из свойств чисел (см. пункт 4.2).

Поэтому . Отсюда также следует, что .

5.3.3. , так как .

5.3.4. . Обозначим полином в равенстве (12) через и подставим для их выражения из равенств (12.1), тогда получаем: , и, сократив на ,

получаем: (13)

Если допустить, что , то из равенства (13) получаем .

Но так как , это равенство невыполнимо, и, следовательно, .

Поскольку в равенстве (13) , то согласно лемме 2 (см. пункт 4.3) получаем:

и , где .

И тогда справедливо равенство:

(13.1)

5.4. Рассмотрим систему равенств, полученных из равенства (7) в пунктах 5.1, 5.2 и 5.3:

(5.4.1)

(5.4.2)

(5.4.3)

В этих равенствах надо учитывать, что , что вытекает по условию из свойств чисел (см. пункт 4.1).

Сложив равенства (5.4.1) и (5.4.2), получаем: (5.4.4)

Сложив равенства (5.4.1) и (5.4.3), получаем: (5.4.5)

Вычитая равенство (5.4.3) из (5.4.2), получаем:

(5.4.6)

Преобразуем равенство (5.4.4) переносом членов и :

, подставим значения и из равенств (10.1) и (8.1), получаем: и вынесем и за скобки:

(5.4.7)

Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.7) получаем:

(5.4.7.1)

(5.4.7.2)

Преобразуем равенство (5.4.5) переносом членов и :

, подставим значения и из равенств (8.1) и (12.1), получаем: и вынесем и за скобки:

(5.4.8)

Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.8) получаем:

(5.4.8.1)

(5.4.8.2)

Преобразуем равенство (5.4.6) переносом членов и :

, подставим значения и из равенств (10.1) и (12.1), получаем: и вынесем и за скобки:

(5.4.9)

Поскольку (так как ) по лемме 2 (см. пункт 4.3) из равенства (5.4.9) получаем:

(5.4.9.1)

(5.4.9.2)

Из сравнения членов полученных равенств (5.4.7.1; 5.4.7.2; 5.4.8.1; 5.4.8.2; 5.4.9.1 и 5.4.9.2) получаем противоречивый результат (поскольку числа ):

; ;

Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств. Это означает, что не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, для которых при НЕЧЕТНОМ значении показателя степени выполняется равенство (2).

5.5. Рассмотрим случай ЧЕТНОГО показателя степени в равенстве (2).

Пусть и для чисел выполняется равенство (2).

Рассмотрим разложение бинома :

(14)

Здесь - биномиальные коэффициенты, которые в других обозначениях записываются: .

Заменив сумму на и вынеся за скобки произведение , получаем из равенства (14):

(15)

Пусть , где и , тогда, используя равенства (8.1), можно представить равенство (15) в виде:

и, если перенести в левую часть и вынести за скобки , получаем:

(16)

где .

Согласно лемме 3 (см. пункт 5.5.1) полином можно преобразовать в вид:

Тогда из равенства (16), подставив выражение для и заменив в нем , получаем:

(17)

Здесь выполняются следующие условия:

, так как и ;

, так как , где первый член полинома имеет , а второй член полинома имеет , поскольку и (так как (см. пункт 5.1.4) и - НЕЧЕТНОЕ число (см. пункт 4.2.4)).

Поскольку и , равенство (16) не может быть выполнено.

Противоречивый результат получен из исходного равенства (2) с помощью преобразований, не влияющих на достоверность получаемых промежуточных равенств. Следовательно, не существует чисел , удовлетворяющих условию теоремы, для которых при ЧЕТНОМ значении показателя степени выполняется равенство (2).

Теорема доказана.

5.5.1 Лемма 3

Условие: Полином из равенства (16) можно представить в виде:

или

, где

Доказательство: Проведем преобразование, состоящее в выделении числа последовательно из каждой пары членов полинома :

и так далее.

В результате получаем выражение вида:

или

Здесь коэффициенты полинома выражаются через биномиальные коэффициенты следующим образом:

………..

Используя свойство биномиальных коэффициентов (суммы четных и нечетных биномиальных коэффициентов равны) т.е. и, учитывая, что коэффициенты =1 и =1 не используются при определении значений , можно получить, что . Следовательно, лемма 3 доказана.

7. Следствия теоремы

7.1. Не существует ЦЕЛЫХ чисел, для которых выполняется равенство (1).

При четных значениях показателя степени уравнение вида (1) идентично как для положительных, так и для отрицательных чисел.

При нечетных значениях показателя степени уравнение переносом членов (или умножением обеих частей на -1) приводится к уравнению вида (1), для которого теорема доказана.

7.2. Не существует РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел (), удовлетворяющих уравнению (1) при натуральном. .

Рациональные числа имеют вид: где

Тогда уравнение (1) для рациональных чисел принимает вид: или (после приведения к общему знаменателю) , что с точностью до обозначения совпадает с уравнением (1) для натуральных чисел, для которого теорема доказана.

7.3. Случай, когда показатель степени отрицательный, является частным случаем уравнения (1) для рациональных чисел, поскольку, если , то .

8. Послесловие к доказательству

8.1. Метод доказательства, использованный для случая ЧЕТНЫХ значений показателя степени в равенстве (2), нельзя было использовать для НЕЧЕТНЫХ значений , поскольку полином в этом случае приводится к виду и равенство (17) принимает вид: , для которого нельзя сделать заключения о его невыполнимости при любых числах , удовлетворяющих условию теоремы.

8.2. В случае четных значений показателя степени в равенстве (2) при равенство (17) принимает вид:

(8.2.1)

Для этого случая, учитывая, что , существует единственный вариант выполнения равенства: , иначе, поскольку - нечетное число (сомножитель в нечетном числе ) получаем . При этом и равенство (8.2.1) невыполнимо.

Значение присуще для всех «Пифагоровых» троек чисел.

Литература

1. Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. «Наука»,М., 1978.

Поступила в редакцию 02.08.2012 г.