Некоторые следствия из основного закона механики

Берников Василий Русланович,

инженер.

Рассмотрим второй закон Ньютона в дифференциальной форме [2,77]:

dP/dt = ∑F,                                                                                                              (1)

где P - импульс системы тел; ∑F – сумма внешних сил.

Известно, что импульс системы тел в общем случае зависит от времени и, соответственно, равен

P(t) = m(t)v(t),                                                                                                         (2)

где m(t) – масса системы тел; v(t) – скорость системы тел.

Так как скорость - это производная по времени координат системы, то

v(t) = dr(t)/dt,                                                                                                                      (3)

где r – радиус-вектор.

В дальнейшее будем подразумевать зависимость от времени массы, скорости и радиуса-вектора. Подставим (3) и (2) в (1) получим:

d(m (dr/dt))/dt = ∑F.                                                                                               (4)

Внесём массу m под знак дифференциала [1,295], тогда

d[(d(mr)/dt) – r(dm/dt)]/dt = ∑F.

Производная разности равна разности производных:

d[(d(mr)/dt)]dt – d[r(dm/dt)]/dt = ∑F.

Проведём подробное дифференцирование каждого слагаемого по правилам дифференцирования произведений:

m(d²r/dt²) + (dm/dt)(dr/dt) + (dm/dt)(dr/dt) + r(d²m/dt²) - r(d²m/dt²) - (dm/dt)(dr/dt) = ∑F.                                                                                                                                      (5)

Приведём подобные члены и запишем уравнение (5) в следующем виде:

m(d²r/dt²) = ∑F - (dm/dt)(dr/dt).                                                                            (6)

В правой части уравнения (6) последнее слагаемое называется силой переменной массы, то есть

F_пм = - (dm/dt)(dr/dt).                                                                                             (7)

Таким образом, к внешним силам добавляется ещё одна внешняя сила - сила переменной массы. Выражение в первой скобке правой части уравнения (7) - это скорость изменения массы, а выражение во второй скобке - это скорость отделения (присоединения) частиц. Таким образом, эта сила может действовать как с изменением массы (реактивная сила) [2,120] системы тел так и без изменения, но с изменением массы составной части при перемещении её внутри системы тел. Импульс центра масс системы [3,198] может быть изменён путём изменения внутреннего вращательного импульса или внутреннего поступательного импульса. Уравнение (6) - это уравнение Мещерского [2,120], но здесь оно выведено точным математическим методом, поэтому при его выводе в выражении (5) появилась ещё одна сила, которая не участвует в изменении импульса системы тел, так как она при приведении подобных членов сокращается. Перепишем уравнение (5), учитывая уравнение (7) и, не сокращая вторые производные, следующим образом:

m(d²r/dt²) + r(d²m/dt²) = ∑F + F_пм + r(d²m/dt²).                                                   (8)

Обозначим последний член выражения (8) через F_m , тогда

m(d²r/dt²) + r(d²m/dt²) = ∑F + F_пм + F_m .                                                              (9)

Так как сила F_m не участвует в изменении импульса, то её можно записать отдельным уравнением:

F_m = r(d²m/dt²).                                                                                                       (10)

Рассмотрим физический смысл уравнения (11), для этого перепишем его в следующем виде:

r = F_m /(d²m/dt²).                                                                                                     (11)

Отношение силы к ускоренному росту массы в определённом объёме является величиной постоянной или пространство, занимаемое определённым количеством вида вещества, характеризуется минимальным объёмом. То есть, рассматривая уравнение (9), можно заключить, что вещество характеризуется массой как мерой инертности и минимальным пространством, которое может занимать данное количество вещества. Сила F_m статическая и выполняет функцию давления.

Литература

1.                  Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 14-е изд., – М.: ООО «Большая медведица», АПП «Джангар», 2001, 864с.

2.                  Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ., 2010, 560с.

3.                  Шипов Г.И. Теория физического вакуума. Теория эксперименты и технологии. 2-е изд., – М.:Наука, 1996, 456с.

Поступила в редакцию 02.05.2012 г.