Управление портфелем ценных бумаг: теория и практика

 

Лебедев Сергей Владимирович,

аспирант факультета государственного управления Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

 

Современная финансовая теория значительное место уделяет проблемам конструирования портфеля ценных бумаг с акцентом на соотношение риска и доходности. Переход к такому подходу в интерпретации рисков во многом связан с отказом от религиозного мировоззрения, доминировавшего ранее. Религиозное мировоззрения было склонно к использованию таких понятий, как рок, фортуна, воля богов, жребий, удел – иными словами, оно выводило эти понятия за пределы человеческой власти и делало их независящими от индивидуальной воли. Это активно проявлялось не только в религиозных текстах, но и в литературе вообще. К примеру, если вспомнить стихотворение «Торжество победителей» Фридриха Шиллера, то оно заключается такими словами Кассандры: «Все великое, земное разлетается, как дым. Нынче жребий выпал Трое – завтра выпадет другим». Как подчеркивает американский ученый П. Бернстайн, «отличительной чертой нашего времени, определяющей границу Нового времени, является овладение стратегией поведения в условиях риска, базирующейся на понимании того, что будущее — это не просто прихоть богов и что люди не бессильны перед природой. Пока человечество не перешло через эту границу, будущее оставалось зеркалом прошлого или мрачной вотчиной оракулов и предсказателей, монополизировавших знания об ожидаемых событиях»[1]. Эти перемены в коллективном сознании позволили дать риску дефиницию в терминах вероятного убытка и даже дать ему математическое содержание.

 Как утверждает российский ученый А.П. Альгин, «риск – деятельность, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которого имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели»[2]. В.Д. Рудашевский дает риску аналогичную дефиницию, определяя его как «вероятность ошибки или успеха того или иного выбора в ситуации с несколькими альтернативами»[3].

Современная финансовая теория, заложенная в середине 1950х плеядой американских исследователей, позволяет использовать теорию вероятностей для анализа рисковости вложений на рынке ценных бумаг. Причем как единичных вложений, так и целого инвестиционного портфеля. По сути, риск определяется через среднеквадратическое отклонение доходности той или иной бумаги[4].

Для анализа рисковости портфеля бумаг также требуется получить коэффициент корреляции этих двух бумаг и знать, какую долю в портфеле составит та или иная бумага.

В первую очередь, необходимо высчитать дисперсию портфеля:

Var _Portfolio = (W₁*∂₁)² + (W₂*∂₂)² + 2*(W₁*∂₁*(W₂*∂₂)* P_12,

где W₁, W₂ – удельные веса бумаги 1 и 2 в портфеле, ∂₁, ∂₂ – рискованность бумаг и P₁₂ – корреляция между бумагами 1 и 2.

купить шубу из куницы

mehgrad.ru

Риск портфеля, соответственно, равняется квадратному корню из дисперсии.

 

∂ _Portfolio = √ Var _Portfolio

 

Рассмотрим пример с портфелем, в равной мере инвестированным в две бумаги (W₁= W₂ = 0.5), чей риск составляет ∂₁= 25% и ∂₂= 18% соответственно, а корреляция между бумагами P₁₂ = 0.5

Var _Portfolio = (0.5* 25%)² + (0.5*18%)² + 2* 0.5*0.5*25%*18*0.5 = 349.75%

∂ _Portfolio = √ 349.75% = 18,7%

Предположим, корреляция между двумя бумагами является абсолютно отрицательной. На практике такое вряд ли возможно – сложно представить себе акции двух компаний, которые будут в равной мере двигаться в совершенно противоположном направлении. В теории это позволяет, подобрав необходимые веса, построить совершенное безрисковый портфель бумаг.

При P₁₂ = - 1 формула дисперсии портфеля принимает вид обычного квадратного уравнения (a-b)² = a² + b² – 2ab

Var _Portfolio = (W₁*∂₁)² + (W₂*∂₂)² - 2*(W₁*∂₁*(W₂*∂₂) = (W₁*∂₁- W₂*∂₂)²

∂ _Portfolio = √(W₁*∂₁- W₂*∂₂)²⁼ W₁*∂₁- W₂*∂₂

∂ _Portfolio = 0.5* 25% - 0.5*18%= 12.5% - 9% = 3.5%

Чем ниже коэффициент корреляции, тем ниже риск портфеля бумаг. Как уже отмечалось выше, при P₁₂ = - 1 можно подобрать веса, при которых риск портфеля будет стремиться к нулю. Для этого необходимо решить простое уравнение

W₁*∂₁- W₂*∂₂ = 0

При этом ∂₁ и ∂2 - известные величины, а W₂ = 1- W₁

Таким образом, W₁*25% - (1- W₁)*18% = 0

W₁*43% = 18%

W₁ = 0,418604651

W₂ = 0,581395349

Таким образом, при необходимой балансировке весов, возможно сконструировать безрисковый портфель из двух бумаг.

Говоря о наборе портфелей на рынке, необходимо упомянуть такое явление, как эффективная граница Марковица – портфели с максимально возможной доходностью и минимальным риском. Портфели, лежащие внутри этой границы неэффективны, а за ее пределами - недостижимы. Чтобы понять, что представляет из себя представляет эффективная граница Марковица, рассмотрим несколько портфелей – А, Б и В. Доходность портфеля А составляет 10% и риск 20%, доходность портфеля Б составляет 12% и риск 20%, доходность портфеля В составляет 12% и риск 25%. Портфели А и В неэффективны и лежат внутри границы Марковица. Портфель Б эффективен и лежит на границе Марковица. Портфель Б предпочтительнее портфеля А из-за более высокой доходности и при аналогичном уровне риска и предпочтительнее портфеля В из-за более низкого уровня риска при аналогичной доходности.

Также при построении портфеля необходимо учитывать системный риск бумаг, которые в него входят. В теории выделяется два типа риска бумаги - индивидуальный риск и системный. Индивидуальный риск бумаги связан с характером бизнеса компании-эмитента. К примеру, акции биотехнологической компании только что начавшей клинические испытания своего нового лекарства – пример бумаг с высоким индивидуальным риском. Велика вероятность, что в ходе испытаний, к примеру, будут выявлены серьезные побочные эффекты, которые не позволят начать продажу нового препарата. Однако этот риск можно устранить за счет диверсификации - если купить бумаги не одной биотехнологической фирмы, а нескольких, то шанс того, что какие-то из них «выстрелят» серьезно повышается. Исследования показывают, что после того, как число бумаг в портфеле превышает отметку в 30, риск перестает снижаться. Индивидуальный риск сведен на нет и остается только системный риск, уже не поддающийся диверсификации. Системный риск связан с зависимостью бумаги от определенных глобальных факторов (экономический рост, настроения на рынке, политический климат) – именно поэтому его невозможно диверсифицировать. Примеры предприятий, особо подверженных системному риску – компании, производящие товары роскоши. Системный риск измеряется с помощью бета-коэффициента, который рассчитывается как отношение ковариации акции i и доходности рынка к дисперсии доходности рынка.

Þ = Cov _(I;m)/Var _{market portfolio}

Также бета можно посчитать как коэффициент корреляции между доходностью бумаги i и рыночного портфеля, помноженный на среднеквадратическое отклонение бумаги i и деленное на среднеквадратическое отклонение рыночного портфеля

Þ = P _(I;m)*∂i/ ∂_{market portfolio}

Что позволяет бета сказать о той или иной бумаге? Бета позволяет прогнозировать изменение доходности акции в зависимости от изменения доходности рынка. К примеру, если бета акции Y = 2, то рост доходности рынка на 10 % приведет к росту доходности бумаги на 20%.

К примеру, бета-коэффициент американской корпорации General Electric составляет 1.59. При росте доходности рынка на 10%, доходность бумаг General Electric вырастет на 15.9%.

В свою очередь, если среднерыночный риск составляет 5 процентов, то для этой бумаги он равен 10 процентам. Бета портфеля бумаг соответственно является сумой произведений бет конкретных бумаг на их удельный вес в портфеле.

Рассмотрим, каким образом можно посчитать бета на основании шестилетних данных о доходности рыночного портфеля и бумаги X.

 

Таблица 1.

Доходность акции X и доходность рынка.

	Доходность X	Доходность рынка
2004	0,1	0,2
2005	-0,15	-0,2
2006	0,2	-0,1
2007	0,25	0,3
2008	-0,3	-0,2
2009	0,2	0,6

 

Первым делом необходимо рассчитать дисперсии доходности бумаги X и доходности рынка. Средняя доходность бумаги X за 6 лет составляет 0,05. Средняя доходность рынка за 6 лет составляет 0,1. Дисперсия считается как сумму квадратов разницы между доходностью за период t и средней доходностью, деленная на N-1 периодов.

Var _{stock X} = ((0.1 – 0,05)² + (-0.15-0.05)² + (0.2- 0.05)²+ (0.25 – 0.05)²+ (-0.3-0.05)² + (0.2-0.05)² )/5 = 0.05

∂ _{stock X} = √0.05= 0.2236

Аналогичным образом вычисляется дисперсия рыночного портфеля

Var _{market portfolio} = 0.104

∂ _{market portfolio} = √0.104 = 0.3225

Для дальнейших вычислений разница между реальной доходностью за каждый год и средней доходностью еще понадобится, поэтому ее следует привести в Таблице 2.

 

Таблица 2.

Разница между реальной и средней доходностью.

	Бумага X	Рынок
2004	0,05	0,1
2005	-0,2	-0,3
2006	0,15	-0,2
2007	0,2	0,2
2008	-0,35	-0,3
2009	0,15	0,5

 

После этого можно приступить к подсчету ковариации, которая равна сумме произведений разниц между реальной доходностью за каждый год и средней доходностью, деленная на N-1. Иными словами, сумма попарных произведений чисел из каждой строки в Таблице 2, деленная на 5.

Cov _{(stock X; Market portfolio)} = ((0.05*0.1)+ (-0.2*-0.3)+(0.15*-0.2)+(0.2*0.2)+ (-0.35*-0.3)+ (0.15*0.5))/5 = 0.051

P _{(stock X; Market portfolio)} = Cov _{(stock X; Market portfolio)} / (∂ _{stock X} *∂ _{market portfolio}) = 0.051/ (0.2236*0.3225) = 0.7072

Таким образом, доходность бумаги X и Рынка оказывается достаточно сильно коррелированной между собой. После этого можно приступить к вычислению Бета-коэффициента.

Þ = Cov _(I;m)/Var _{market portfolio}= P _(I;m)*∂i/ ∂_{market portfolio}

Þ =0.051/0.104 = 0.49

При вычислении Бета альтернативным способом – через корреляцию и среднеквадратические отклонения получается тот же результат.

Следует добавить, что, безусловно, как и любая научная теория, изложенные выше факты не дают всей полноты картины. Эти модели делают ряд допущений и мало учитывают психологию рынка. Однако при всем при этом они являются значительной вехой на пути развития теории финансов и применяются в той или иной мере на практике даже сейчас.

 

Литература

 

1.                  Альгин А.П. Риск и его роль в общественной жизни. М., 1987.

2.                  Бернстайн П. Против богов: Укрощение риска. // Пер. с англ. - М.: ЗАО «Олимп - Бизнес», 2000. - 400 с.

3.                  Рудашевский В.Д. Риск, конфликт и неопределенность в процессе принятия решений и их моделирование.// Вопросы психологии №2, 1974.

4.                  Н. М. Markowitz. Portfolio Selection // Journal of Finance. 7: 77— 91.1952. March.

 

Поступила в редакцию 14.09.2012 г.