Новое в делимости чисел при сравнении по ненулевому рациональному

Модулю

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального

технического университета, академик Международной инженерной академии.

Из литературных источников [1] известны свойства сравнения , т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа, если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с, а и b при делении на их на c дают одинаковые остатки.

Остановимся на связи между сравнениями (1) и (2), то есть между сравнением ac(mod f) (1), а также сравнения а-c≡0(mod f) (2). Cогласно свойствам сравнений, которые изложены в литературе, сравнения (1) и (2) обладают теми же свойствами, Где f может быть целым или дробным числом большим или равным 1. При этом a-c≡0(mod(a-c):k), (a-c):k=f и f≥1. Если с=0, то имеем а≡0(mod f). Причём, если а≡0(mod), где к=1,2,,,а, то f – целое или дробное число ≥ 1.В результате при делении числа а на f всегда получается целое число независимо от того f –целое число или дробное. При этом сравнение а≡0(mod), равноценно сравнению k^. а≡0(mod а), Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение [4], т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел.

Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Использование сравнения по ненулевому рациональному модулю имеет особое значение для математики в области теории чисел для доказательства теорем как элементарными, так и неэлементарными способами.

Причём классы сравнения по ненулевому рациональному модулю можно складывать, перемножать очевидным образом, как это описано литературе [1, 2, 4].

Проиллюстрируем на обычном числовом примере: 350(mod 5)(mod); 350(mod 3)0(mod ), где f может быть дробным или целым числом 1 (c=2,3,…,34; a=35; a:c=f). При делении а на f≥1, где f целое или дробное число, получается всегда целое число.

Обобщая имеющиеся источники и полученные нами данные [1-25] , предлагается следующее:

1.                  Если имеем уравнение x²-y²=(x+y)(x-y)=Z², где х+у=Z₁² ; х-у= Z₂ ² доказать, что оно имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда х+у и х-у являются квадратами чисел, х>у, х-чётное число, а у-нечётное.

2.                  Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение nxⁿ+my^m=pz^p ,где х≠у≠0, m≠n≠p – простые числа, m,n,p≥3.

3.                  Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение mxⁿ+ny^m=pz^p ,где х≠у≠0, m≠n≠p – простые числа, m,n,p≥3.

4.                  «Доказать, существует ли тот же полный набор регулярных и иррегулярных чисел, равных z₁ и z₂, то есть таких, когда xⁿ+yⁿ= z₁^. z₂ при n≥3. Cовпадают ли полностью значения чисел z₁ и z₂ c регулярными и иррегулярными числами, делящими числители чисел Бернулли, как и для теоремы Ферма».

5.                  Если имеем уравнение xⁿ-yⁿ = (х-у)(х^n-1+ x^n-2y+…+y^n-2x+yⁿ)=zⁿ, где n≥3, доказать, что оно бы имело решения в, целых числах, для этого необходимо и достаточно чтобы оба сомножителя х-у и х^n-1+ x^n-2y+…+y^n-2x+yⁿ являлись степенью целого числа, где x≠y≠0, х и у -нечётное и чётное число соответственно.

Литература

1.                  Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.—1985.-368 с.

2.                  Карпунин И.И. О доказательстве последней теоремы П.Ферма/ И.И.Карпунин, Э.Д.Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2012.-№ 1.-С.63-64.

3.                  Карпунин И.И. Новые предложения к теории чисел/ И.И.Карпунин, Э.Д.Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2011.-№ 12.-С101-102.

4.                  Карпунин И.И. О теореме Ферма и её доказательстве/ И.И.Карпунин, Э.Д.Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2010.-№ 10.-С.107-109.

5.                  Карпунин И.И. Новые предложения к теории чисел/ И.И.Карпунин, Э.Д.Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2012.-№ 1.-С.63-64.

6.                  Карпунин И.И. Особенность делимости чисел при сравнении по ненулевому рациональному модулю/ И.И.Карпунин, Э.Д.Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2011.-№ 10.-С.86-88.

7.                  Карпунин И.И. Делимость чисел при сравнении по ненулевому рациональному модулю / И.И.Карпунин, Э.Д.Подлозный // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2010.-№ 12.-С.111-112.          

8.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел. Сучаснi проблемi науки та освiти. 8-я мiжнародна мiждисциплiнарна науково-прaктична школа-конференция. Харьков, 2007.- С.80.

9.                  Карпунин И.И. Подлозный Э.Д.О делимости чисел. Информа- ционная среда вуза. Материалы XIV Международной научно-технической конференции. Архитетурно-строительный университет. Иваново.-2007.-С.501-506.

10.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю. Тезисы докладов 3 Международной конференции. М.: МФТИ, 2007.-С.142-144.

11.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О делимости чисел. Теория и методика изучения математики, физики и информатики. - Сборник научных трудов. Выпуск VIII, т.1. Кривой Рог: Изд. Отдел. НМет АУ, 2008.-С.137.

12.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О доказательстве теоремы Ферма. Современные проблемы гуманизации и гармонизации управления. Материалы 8 Международной междисциплинарной научно-практической школы-конференции. Харьков: Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина.-2008.-С.276- 277.

13.               Карпунин И.И. О делимости чисел. Труды Международной конференции «Моделирование социальных систем и вопросы преподавания математики в высшей школе», 26-27 марта 2008 г. Москва: Изд-во РГСУ.- 2008.-С.99-109.

14.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О доказательстве теоремы Ферма и сравнении по ненулевому рациональному модулю.Молодёжь и наука: реальность и будущее. Материалы II Международной научно-практической конференции. Т. 8, Невинномыск, 2009.-С.136-137.

15.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу доказательства теоремы Ферма: сравнением по ненулевому рациональному модулю. Информационная среда вуза. Материалы XVI Международной научно-технической конференции. Иваново: Государственный архитектурно-строительный университет, 2009.-С.439-443.

16.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О связи между системами чисел. Информационная среда вуза. Материалы XVI Международной научно-технической конференции. Иваново: Государственный архитектурно-строительный университет, 2009.-С.445-447.

17.               Карпунин И.И, Подлозный Э.Д Новые предложения к теории чисел. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2012.-№ 5.-С.103.

18.               Карпунин И И. Подлозный Э.Д. О множестве рациональных чисел (дробных и целых), больших 1 // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов Курск, 2011.-№5, 12.-С.57.

19.               Карпунин И.И Подлозный Э.Д. Новые предложения к теории чисел. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2012.-№ 1.-С.63-64.

20.               Карпунин И. И. Подлозный Э.Д. Особенность делимости чисел при сравнении по ненулевому рациональному модулю. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2011.-№ 10.-С.86-88.

21.               Карпунин И. И. О «доказательствах» теоремы П.Ферма. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2012.-№ 7.-С.113-114.

22.               Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. Новые предложения к теории чисел. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Курск, 2012.-№ 10.-С.110-111.

Поступила в редакцию 15.05.2013 г.