Учет влияния конусности на нелинейное деформирование токонесущей ортотропной конической оболочки, обладающей ортотропной электропроводностью в нестационарном магнитном поле
Индиаминов Равшан Шукурович,
кандидат физико-математических наук, доцент,
Кадиров Тулкин,
магистрант,
Казоков Улугбек,
бакалавриат.
Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Узбекистан.
В статье рассматриваются связанные задачи магнитоупругости для токонесущей ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле. Проводится анализ влияния конусности на напряженно-деформированное состояние оболочки.
Ключевые слова: оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.
A problem of magnetoelasticity for a flexible conical shell in a no stationary magnetic field is solved. The effect of conicity on the stress–strain state of the shell is analyzed.
Keywords: shell, magnetic field, magneto elasticity.
Введение
Развитие теории сопряженных полей и, в частности, теории электромагнитного взаимодействия с деформируемой средой считается одним из главных направлений развития современной механики твердого тела. Механизм взаимодействия упругой среды с электромагнитным полем разнообразен и обусловлен геометрическими характеристиками и физическими свойствами рассматриваемого тела. В частности, этот механизм получает некоторые специфические особенности, когда рассматриваем проблемы относительно тонких пластин и оболочек, обладающих анизотропной электропроводностью, магнитной и диэлектрической проницаемостями .
Задачи электромагнитоупругости анизотропных пластин и оболочек обладающей анизотропной электропроводностью, магнитной и диэлектрической проницаемости представляет научный интерес, как сточки зрения теории, так и приложений. Дело в том, что в случае тонких анизотропных или изотропных тел с анизотропной электропроводностью можно ставить и решать оптимальные задачи магнитоупругости путем вариации всех физико-механических параметров материала тела. В частности, при постоянных механических и геометрических параметрах задачи, с помощью изменения анизотропных электродинамических параметров можно получить конструктивные элементы с качественно новым механическим поведением. Отметим, что в последнее время созданы материалы и наноматериалы с новыми электромагнитными свойствами. Эти материалы могут эффективно использоваться в различных областях новой техники при разработке новых технологий.
1. Нелинейная постановка задачи. Получение разрешающей системы уравнений в нормальной форме Коши.
Будем рассматривать
гибкие токонесущие конические оболочки переменной вдоль меридиана толщины,
находящихся под действием нестационарных электромагнитных и механических полей.
Пренебрегая влиянием процессов поляризации и намагничивания, а также
температурными напряжениями считаем, что к торцу оболочку подводится переменный
электрический ток от внешнего источника. Предполагается, что сторонний электрический
ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по телу (плотность тока не
зависит от координат). Упругие свойства материала оболочки считаются ортотропными,
главные направления, упругости которого совпадают с направлениями соответствующих
координатных линий, электромагнитные же свойства материала характеризуются
тензорами электрической проводимости 
, магнитной
проницаемости 
, диэлектрической проницаемости 
. При этом, исходя из кристаллофизики, для
рассматриваемого класса проводящих ортотропных сред с ромбической
кристаллической структурой считаем, что тензоры 
, 
и 
принимают
диагональный вид. В этом случае произвольная поверхность второго порядка
обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно
расположить эти оси параллельно кристаллографическим осям второго порядка, а
также характеристическая поверхность второго порядка обладает всеми элементами
симметрии, которые могут быть у классов орторомбической системы. Предположим,
что геометрические и механические характеристики тела таковы, что для описания
процесса деформирования применим вариант геометрически нелинейной теории тонких
оболочек в квадратичном приближении. Также предполагаем, что относительно
напряженности электрического поля 
и напряженности
магнитного поля 
выполняются электромагнитные
гипотезы [1]:
, 
, 
,
,
(1)
Эти допущения являются некоторым
электродинамическим аналогом гипотезы недеформируемых нормалей и вместе с
последней составляют гипотезы магнитоупругости тонких тел. Принятие этих
гипотез позволяет свести задачу о деформации трехмерного тела к задаче о
деформации выбранной произвольным образом координатной поверхности. Координатную
поверхность в недеформированном состоянии отнесем к криволинейной ортогональной
системе координат 
и 
, где 
длина дуги образующей (меридиана),
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, 
центральный
угол в параллельном круге, отсчитываемый от выбранной плоскости. Координатные
линии 
и 
являются
линиями главных кривизн координатной поверхности. Выбирая координату 
по нормали к координатной поверхности
вращения, относим оболочки к координатной пространственной системе координат 
. Предполагаем, что на поверхности
конической оболочки известен вектор магнитной индукции, а также поверхностные
механические силы.
При получении
разрешающей системы в нормальной форме Коши выберем в качестве основных функций
Выбрав именно эти функции, в
дальнейшем можно выбирать различные комбинации закрепления конуса. Дифференциальная
система уравнений в основных функциях, описывающая напряженно-деформированное
состояние токонесущих оболочек в магнитном поле при учете геометрической
нелинейности и ортотропной электропроводностью, магнитной и диэлектрической
проницаемостями разрешается относительно первой производной искомых функций по
одной из координат. Предполагаем, что все компоненты возбужденного электромагнитного
поля и поля перемещений входящие в уравнения задачи магнитоупругости не зависит
от координаты 
, а также считаем, что упругие и
электромагнитомеханические характеристики материала оболочки не изменяются
вдоль параллели.
После соответсвующих преобразований [3, 4, 6, 8] получаем полную систему нелинейных дифференциальных уравнений магнитоупругости в форме Коши, которая описывает напряженно-деформированное состояние токонесущей ортотропной конической оболочки обладающей ортотропной электропроводностью, магнитной и диэлектрической проницаемостями при нестационарном воздействии механического и магнитного полей.
(2)
В соотношениях (1), (2)
использованы общепринятые в теории оболочек и теории электромагнитоупругости
обозначения. Кроме того, здесь введены такие обозначения: 
- тангенциальные составляющие индукции
магнитного поля на поверхностях токонесущей конической оболочки. Решение
краевых задач магнитоупругости связано с определенными трудностями. Это
объясняется тем, что разрешающая система (2) является системой дифференциальных
уравнений гиперболо-параболического типа восьмого порядка с переменными
коэфициентами.
Составляющие силы Лоренца учитывают скорость деформирования оболочки, внешнее магнитное поле, величину и напряженность тока проводимости относительно внешнего магнитного поля, механическую и электромагнитную ортотропию материала [3, 4, 6, 8, 9].
Добавив к полученной системе уравнений начальные и граничные условия, имеем краевую задачу. Разработанный методики к численному решению новых класс связанных задач магнитоупругости теории ортотропных конических оболочек вращения обладающей ортотропной электропроводностью, основан на последовательном применении конечноразностной схемы Ньюмарка, метода квазилинеаризации и дискретной ортогонализации [2-7, 10-12].
Для
эффективного использования предложенной методики предполагаем, что при
появлении внешнего магнитного поля не возникает резких скин-эффектов по толщине
оболочки и электромагнитный процесс по координате 
быстро
выходит на режим, близкий к установившемуся. Отметим что, применяя схему
Ньюмарка, весь интервал изменения времени разобьем на отдельные малые по
времени интервалы и историю деформирования проследим, последовательно решая
задачи на каждом временном слое.
2. Числовой пример.
Проведем
исследование напряженно-деформированного состояния гибкой ортотропной
конической оболочки из бороалюминия постоянной толщины 
,
находящейся под действием механической нагрузки 
.
Оболочка находится во внешнем магнитном поле 
и к
ней подводится сторонний электрический ток плотности 
а
также оболочка имеет конечную ортотропную электропроводность 
. Считаем, что сторонний электрический ток
в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т.е. плотность стороннего
тока не зависит от координат.
Исследуем
влияние угла конусности на напряженно-деформированное состояние ортотропной конической
оболочки обладающей ортотропной электропроводностью, учитывая, что угол
дополняет угол φ при основании конуса до 
.
В этом случае граничные условия запишем в виде
Начальные условия принимают вид
.
При решении задачи параметры принимают следующие значения:
, 
, 
, 
, 
. 
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Отметим, что
в рассматриваемом случае анизотропия удельного электрического сопротивления равно
.
Решение
задачи определено на интервале времени 
, шаг
интегрирования по времени принять равным: 
при
ста точках интегрирования по длине оболочки.
На рис. 1
приведено распределение максимального прогиба 
при
шаге по времени 
. Графики 
отвечают соответственно углам 
= 
; 
; 
; 
; 
. Здесь
и в дальнейшем в качестве длины образующей конуса вводим текущую координату по
формуле 
где (N=1, 2,…, 11). В качестве изменения
времени вводим текущую координату по формуле 
, где
(N=0, 1, 2,…, 10). В соответствии с начальными условиями во всех
графиках значения механических и электромагнитных параметров при t=0 (N=0)
равняются нулю.
Максимальные
значения прогибов достигаются на пятой итерации по времени при , что согласуются с видом нагрузки. С
уменьшением угла 
значения прогиба увеличиваются.
На рис. 2 – 4
показаны графики изменения 
, 
, 
для рассмотренных
выше значений угла при , что
отвечает максимальным значениям прогиба на рис. 1.
Исходя из
приведенных данных, можно судить о влиянии угла конусности на
напряженно-деформированное состояние токонесущей оболочки (номера кривых 1 – 6
соответствуют принятым на рис. 1). Здесь , – механические и магнитные напряжения на
внешней поверхности ортотропной конической оболочки.
Рассматривая
графики, видим, что при 
в точке 
=
напряжения
существенно возрастают. Резкое изменение напряжений при 
;
в точках 
, 
, 
, объясняется влиянием граничных условий.
На левом конце конуса 
приложена перерезывающая сила 
и нормальная компонента индукции
магнитного поля и их взаимодействие вызывает появление экстремальных значений.
На рис. 5 представлено
изменение составляющей напряженности электрического поля 
при изменении угла конусности. Как и в
предыдущих случаях, с уменьшением угла конусности напряженность электрического
поля увеличивается.
На рис. 6
показано распределение нормальной составляющей магнитной индукции 
при 
для
углов, указанных выше. Следует отметить, что значения магнитной индукции
увеличиваются с уменьшением угла конусности и остаются монотонными.
Угол раствора конуса равный шести градусам оказался критическим для геометрически нелинейной теории при подобранных нагрузках. Дальнейшее уменьшение приводит к потере устойчивости оболочки.
Рис. 1. Рис. 2.
Рис. 3. Рис. 4.
Рис. 5. Рис. 6.
Литература
1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнито-упругость тонких оболочек и пластин. - Москва: Наука, 1977. - 272 с.
2. Mol`chenko L.V., Loss I.I., Indiaminov R.SH. Nonlinear Deformation of Conical Shells in Magnetic Fields // International Applied Mechanics. - New York, 1997. - Vol. 33. No.3. - P. 221-226.
3. Mol`chenko L.V., Loss. I.I., Indiaminov R.SH. The magnetoelastisity of conical shells mith ortotropic elektroconductivity in nonlinear position // Bulletin of the University of Kiev. Series: Physics & Mathematics.-2007. N.2. P.85-90.
4. Mol`chenko L.V., Loss. I.I., Indiaminov R.SH. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shells of Revolution in Magnetic Field // International Applied Mechanics.-2008.-Vol. 44. No.8. P.882 - 891.
5. Indiaminov R.SH. On the absence of the tangential projection of the Lorenz force on the ax symmetrical stressed state of current-carrying conic shells // International Journal Computational Technologies 2008. - Vol.13. N.6. P. 65 - 77.
6. Индиаминов Р.Ш. Исследование деформирования токонесущей ортотропной конической оболочки в нестационарном магнитном поле //Узбекский журнал «Проблемы механики». – Ташкент, 2009, - № 5-6. - С. 13-18.
7. Мольченко Л.В, Индиаминов Р.Ш. Магнитоупругое деформирование токонесущей ортотропной конической оболочки переменной толщины в магнитном поле // Современные проблемы механики: Материалы междунар. научно-техн. конф. - Ташкент, 2009. - С. 392-396.
8. Индиаминов Р.Ш. Решение задач магнитоупругости ортотропных конических оболочек // Современные проблемы механики: Материалы междунар. научно-техн. конф. Т. 1. - Ташкент, 2009. - С: 302-306.
9. Индиаминов Р.Ш. Решение связанных динамических задач магнито-упругости токонесущих ортотропных конических оболочек // Сборник статьей Одиннадцатой междунар. научно-практ. конф. «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 27-29 апреля 2011 г., г. Санкт-Петербург, Россия. Т. 3. - Санкт-Петербург, 2011. - С: 152-158.
10. Индиаминов Р.Ш. Исследования напряженного состояния токонесущей ортотропной конической оболочки в магнитном поле // Проблемы современной математики: Тр. научной конф.– Карши, 2011. - С. 388-392.
11. Индиаминов Р.Ш. Математическое моделирование магнитоупругих колебаний токонесущей ортотропной оболочки в магнитном поле // Современное состояние и перспективы информационных технологий: Материалы Республ. научно – практ. конф. Т. 1. - Ташкент, 2011. - С: 96-102.
12. Индиаминов Р.Ш. Учет влияния угла конусности на напряженно-деформированное состояние конической оболочки, находящейся в магнитном поле // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии в науке, технике и образовании: Материалы междун. конф. - Ташкент, 2004. - С.208-210.
Поступила в редакцию 04.07.2013 г.