Роль парадоксов в процессе обучения теории вероятностей студентов среднего профессионального образования
Григорян Мара Эдиковна,
преподаватель кафедры экономико-математических методов и моделей в предпринимательской деятельности Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
Методологической основой современных образовательных стандартов является компетентностный подход, который подразумевает формулировку целей обучения через компетенции, востребованные в профессиональной деятельности современного работника. Переход на компетентностно-ориентированное образование обусловлен потребностями информационного общества к современному специалисту, которые нашли свое отражение в требованиях, предъявляемых к результатам обучения: формировать как профессиональные, так и общекультурные компетенции, социально значимые для будущей профессиональной и практической деятельности.
Важным условием достижения результативности в формировании общих и профессиональных компетенций является включение обучаемых в учебно-исследовательскую деятельность. Одним из способов такой деятельности является метод проектов.
Метод проектов предполагает решение какой-то проблемы, противоречия, парадокса. История развития теории вероятностей полна интересных парадоксов. В качестве тем проектов можно предложить студентам парадоксы теории вероятностей, различные попытки их решения, установление связей парадокса с окружающей действительностью, его влияния на развитие наук и их приложений.
Приведем некоторые темы проектно-исследовательских работ с использованием парадоксов теории вероятностей. Каждая из приведенных тем содержит: 1) название парадокса и его формулировку; 2) фамилии ученых, работавших над этой проблемой; 3) связь парадокса с другими науками; 4) список рекомендуемой литературы.
Тема 1. Парадокс игры в кости. «Азартные игры» в мире физических частиц.
Парадокс. Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, …, 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5 и 10=4+6=5+5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три [1, стр. 13]?
Ученые математики: Джироламо Кардано (1501-1576), Галилео Галилей(1564-1642), Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646-1716), Жан Лерон Даламбер (1717 —1783), и др.
Связь с другими науками. В качестве связи парадокса с окружающей действительностью можно предложить студентам разобраться в связи парадокса с моделью Максвелла-Больцмана для физических частиц. В этой модели рассматриваются m различных частиц распределенных по n областям пространства, где все распределения частиц равновероятны, а состояние системы определяется указанием числа частиц, попавших в каждую область пространства.
Рекомендуемая литература
1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.- М.: Мир, 1990. - 240 с. (стр. 13-14).
2. Попов В. А. Теория вероятностей. Часть 1. Элементарная теория вероятностей: Учебное пособие/ В. А. Попов.— Казань: Казанский университет, 2013. - 48 с. (стр.13-14).
3. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк /Л. Е. Майстров. – М.: Наука, 1967г. – 320с. (стр.50-51).
4. Тарасов Л. В. Закономерности окружающего мира. В 3 кн. Кн. 1. Случайность, необходимость, вероятность. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.— 384 с. (стр.143-144).
5. Босс В. Лекции по математике. Т. 4: Вероятность, информация, статистика. М.: КомКнига, 2005. - 216 с. (стр.11-13).
Тема 2. Санкт-Петербургский парадокс и его значение для экономической теории.
Парадокс. Единичное испытание в петербургской игре состоит в бросании правильной монеты до тех пор, пока не выпадет решка; если это произойдет при n-м бросании, игрок получает 2n долларов из банка. Таким образом, с каждым бросанием выигрыш удваивается. Вопрос в следующем: сколько следует заплатить игроку за участие в игре, чтобы игра стала безобидной? Безобидность петербургской игры рассматривается в классическом смысле: среднее значение (или математическое ожидание) чистого выигрыша должно быть равно 0. Однако, как ни удивительно, это естественное требование невыполнимо, какую бы (конечную) сумму денег игрок ни заплатил [1, 35-36].
Ученые математики: Даниил Бернулли (1700-1782), Николай Бернулли (1662—1716), Леклерк, граф де Бюффон (1707-1788), Уильям Феллер (1906—1970), Джон фон Нейман (1903—1957) и др.
Связь с другими науками. В качестве связи парадокса с другими науками можно предложить студентам разобраться в связи между данным парадоксом и теорией ожидаемой полезности.
Рекомендуемая литература
1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.- М.: Мир, 1990. - 240 с. (стр.35-36).
2. Босс В. Лекции по математике. Т. 4: Вероятность, информация, статистика. М.: КомКнига, 2005. - 216 с. (стр.21-22).
3. Б.С. Малышев. Теория предельной полезности (потребитель на рынке товаров и услуг): Учебное пособие / Амурский гос. ун. – Благовещенск, 1999. – 40 с. (стр. 13-14).
Тема 3. Компьютерная безопасность и парадокс дней рождения
Парадокс. Если собираются вместе не более, чем 365 человек, то возможно, что все они имеют различные дни рождения. Однако среди 366 человек наверняка найдутся по крайней мере два таких, у которых дни рождения приходятся на один и тот же день в году. (Предположим, что мы не рассматриваем високосные года.) Однако, если мы зададимся целью найти, сколько должно быть людей, чтобы с надежностью 99% два из них имели один и тот же день рождения, то обнаружим, что достаточно 55 человек. В то же время среди 68 человек с вероятностью 99.9% по крайней мере два имеют одинаковый день рождения. Почти не правдоподобно, что такая малая разница между вероятностями 99% и 100% может привести к столь большим различиям в числе людей [1, стр.67].
Связь с другими науками. Можно предложить студентам разобраться в связях парадокса с компьютерной безопасностью и рассмотреть метод кримтоанализа, основанный на парадоксе дней рождения.
Рекомендуемая литература.
1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистики. Пер. с англ.- М.: Мир, 1990. - 240 с. (стр. 67).
2. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х книгах.- 3-е изд. перераб. и доп. –М.: МЦНМО, 2004. Книга 1. –520с. (стр. 32-33).
3. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - 2-е изд., исправленное. - М.: Наука, 1975. - 112 с. (стр. 15-16).
4. Смарт. Н. Криптография. – М.:Техносфера, 2005. – 528 с. (стр.50).
Выделим основные этапы работы студентов над проектом.
1. Проблемно-целевой этап:
1) выбор парадокса;
2) постановка цели и задач.
На первом этапе студенты с помощью преподавателя выбирают один из парадоксов теории вероятностей в качестве проблемы исследования, определяется форма представления результата (презентация, электронная публикация, статья) его назначение (чаще всего учебное). Далее происходит формирование состава проектной бригады и распределение обязанностей. При этом соблюдается главный педагогический принцип: как можно полнее учесть интересы студентов, как можно ближе подойти к волнующим их проблемам, подобрать сложную, но посильную им задачу, способствующую развитию. Этот этап завершается формулировкой темы проекта и написанием краткой аннотации проекта.
2. Разработка исторической части проекта:
1) изучение истории осознания и развития парадокса;
2) анализ попыток ученых разрешения парадокса.
История математики помогает разобраться в том, чем стимулируются математические открытия, позволяет познакомить студентов, с самим понятием творчества, с творчеством в науке. Анализ исторических сведений стимулирует мотивацию учащихся на приобретение знаний, что является обязательным условием включения всех учащихся в режим самостоятельной работы. На примерах интересных фактов из жизни и творчества ученых, на примерах истории их открытий можно привить учащимся веру в их собственные силы, желание испытать эти силы на задачах, которые возникают перед современной наукой и практикой. Знакомство с учеными русской Петербургской школы позволит формировать у учащихся уважение к своему народу, гордости за свою Родину.
3. Разработка теоретической части проекта.
На данном этапе студенты работают над:
1) объяснением парадокса с точки зрения современных представлений;
2) анализом различных обобщений и частных случаев парадокса.
Этап способствует развитию исследовательских умений: анализа (выявления проблем, сбора информации), обобщения. Реализация этого этапа позволит формировать компетенции по осуществлению поиска и использованию информации, необходимой для эффективного выполнения проектных задач.
4. Установление связи парадокса с окружающей действительностью, его влияния на развитие наук и их приложений.
На этом этапе студенты анализируют роль парадокса в развитии теории вероятностей и ее приложений, выделяют важнейшие понятия и факты из теории вероятностей и ее применений, на установление которых повлияло разрешение данного парадокса.
Этот этап предполагает самостоятельное приобретение недостающих знаний из разных источников, развитие умений пользоваться этими знаниями для решения новых познавательных и практических задач, развитие способности применять знания к жизненным ситуациям. Этап способствует формированию компетенции принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
5. Разработка практической части проекта: разработка компьютерной модели решения парадокса.
На этом этапе студенты работают над созданием программного продукта (средствами Delphi, Pascal, Visual Basic for Applications и т.д.) и оформляют работу в виде электронной презентации (средствами Microsoft Office PowerPoint).
Реализация этого этапа способствует формированию навыков по использованию информационно-коммуникационных технологий в учебной деятельности, а также развитию способностей к аналитическому, критическому и творческому мышлению студентов и преподавателя.
6. Этап презентации – публичной защиты проекта.
На этом этапе производится публичная защита проекта участниками проекта на общей конференции по теории вероятностей.
Работа над проектом позволит студентам организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения задач, оценивать их эффективность и качество, самостоятельно определять задачи личностного развития, заниматься самообразованием.
Работая над проектом в малых группах, студенты учатся работать в коллективе и в команде, а это в свою очередь создает условия для формирования умений продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции коллег, эффективно разрешать конфликты, брать на себя ответственность за работу членов команды.
Таким образом, в данной работе приведены сведения, которые иллюстрируют возможности включения математических парадоксов в процесс обучения теории вероятностей и математической статистики. Представленный материал может быть использован на занятиях по теории вероятностей, а главное – он способствует формированию общих и профессиональных компетенций студентов.
Литература
1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / Габор Секей; пер. с англ. В.В. Ульянова; под редакцией В.В. Сазонова.– М.: Мир, 1990. – 240 с.
2. Селевко Г.К. Энциклопедия образовательных технологий: в 2 т. Т. 1/ Г. К. Селевко. – М.: НИИ школьных технологий, 2006. – 816 с.
3. Ступницкая М.А. Что такое учебный проект? / М. А. Ступницкая.–М.: Первое сентября, 2010. – 44 с.
Поступила в редакцию 25.11.2013 г.