О сравнении по ненулевому рациональному модулю применительно к теореме Ферма
Карпунин Иван Иванович,
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального университета, академик МИА и МАИТ.
ТЕОРЕМА 1. Число регулярных простых чисел бесконечно. В литературе имеются данные о том, что количество простых чисел бесконечно [1,2]
Пусть 
– произвольная конечная система
иррегулярных простых чисел. Теорема будет доказана, если мы найдем иррегулярное
простое число
,
отличное от 
. Где 
–
регулярное простое; 
– сомножитель (дробное число>1);
выбрано таким образом, что >
. 
– число числителя чисел Бернулли, 
– произведение регулярного числа на 
; 
, где –
целое число, полученное при делении числителя чисел Бернулли на иррегулярное
число, т. е. 
; 
(
если не сокращать числитель и
знаменатель).
Предположим 
.
Так как для
числа Бернулли 
мы имеем [1]
при 
то при
достаточно большом натуральном 
рациональное число 
будет по абсолютной величине >1.
Пусть – простое число, входящее в его числитель
(при несократимой записи). Если бы 
, то по теореме
Штаудта [1], число 
входило бы в знаменатель 
, а это не по выбору числа . Следовательно, 
не
делит , а поэтому отлично
от 
(и от 2). Обозначим через 
остаток от деления на 
, так
что 
. Отсюда следует, что – четное и 
Вместе с число также
не делится на . Воспользовавшись сравнением
Куммера [3-5], получим в кольце – целых рациональных
чисел сравнение 
, поэтому 
.
Для
обоснования разложения иррегулярного простого числа на
произведение двух простых сомножителей регулярного простого числа на сомножитель 
>1
(дробное число >1). Докажем следующую вспомогательную теорему.
2. Вспомогательная
теорема. Если натуральное нечетное составное число является
произведением двух простых натуральных чисел 
и 
(
) (1),
то оно также является произведением третьего простого натурального нечетного
числа на дробное число >1
(
). Если или равно 1, то имеем частный случай 
–
простое число (
).
Для
доказательства заметим, что 1 делит любое натуральное, поэтому достаточно предположить,
что 
>1. Тогда 
>. Кроме того, также предположим, что
равенство (1) выполняется при 
, т.е. 
; 
; 
, где s' – простое число 
.
Поскольку 
>1, для числа имеется
предшествующее. Обозначим его 
. Оно может удовлетворять
или не удовлетворять условию 
>. Если оно ему удовлетворяет, то для него
имеется предшествующее, которое мы обозначим 
.
Тогда условие 
> может
выполняться или не выполняться.
Повторение
этого процесса привело бы к бесконечно убывающей последовательности чисел, если
бы мы на некотором этапе не получили числа 
в
числителе (как предшествующее предшествующему числу ), для
которого 
не больше . Но 
>.
Таким образом, на основании принципа бесконечного понижения (спуска), такое
число найдется. Тогда либо 
, либо <. Если , то в числителе равно в знаменателе и случай 1 доказан.
Если же <, то 
для некоторого 
.
Так как > 
>
, то
отсюда следует, что >.
Наконец, если 
; где 
<, то 
, иначе
< или >. Если
(при >) для некоторого 
; 
>, что противоречит предположению.
Аналогичным способом приводится к противоречию случай >. Следовательно, и
. Видно, что 
.
Случай 2 доказан.
Таким образом
доказано, что при любых значениях 
равенство 
не выполняется. Аналогичным образом это
относится к случаю, если – простое число (
). Это означает, что если 
и 
простые
числа, которые являются сомножителями составного нечетного числа , то это число может также являться
произведением простого нечетного числа 
на 
>1. В случае, если бы являлось простым числом, то аналогично
(как и в том случае, если бы было составным
числом) имеем 
.
Следовательно,
если – иррегулярное простое число, т. е. 
, разделим один из сомножителей на 
, а другой умножим на , где выбрано
таким образом, что >; 
>1 (
) (
). Тогда
.
Таким
образом, 
– регулярное простое число.
В случае,
если 
, имеем:
.
Для
обоснования общей закономерности делимости чисел, когда 
есть
целое или дробное число (после деления 
на 
) заметим, что любое натуральное число делится на (при
) независимо от того является ли число 
дробным или целым [6].
Что касается
простого целого иррегулярного числа , то это аналогично
(что число делится на ),
где 
– всегда дробное число 
(при 
), где
- регулярное простое число.
Поэтому на
прямой линии (по масштабу) независимо от того является ли число целым или
дробным , оно откладывается раз и в результате (по масштабу) на
прямой линии образуется целое число .
В этом общее
сходство в закономерности делимости делящегося числа на
и не делящегося, которым аналогично
обладает простое иррегулярное число при делении его на регулярное
простое число , что представляет частный
случай деления числа на ,
когда 
не является целым числом.
Это значит,
что, если иррегулярное простое число не делится на
регулярное простое число ( – дробное число 
),
то имеет место сравнение 
, аналогично тому,
как 
(где 
– целое
число ), либо 
,
если – дробное число, равное 
(при 
). При
этом 
равноценно сравнению
c. а≡0(mod c).
Известно [3-5],
что 
; но 
, где
, т. е. делится на 
.
Допустим 
не делилось бы на , то и в этом случае 
(h:h1=h2) Это
означает, что независимо от того делится или не делится на
(является или не является произведением двух сомножителей числа
классов: 
, делилось
бы на дробное число >1, которое являлось бы нецелым.
Аналогично,
если делится на 
, то
в случае, если – иррегулярно, имеем 
(где
–
целое число от деления числителя чисел Бернулли на
иррегулярное ).
В случае,
если 
(где 
–
дробное число >1 от деления числителя чисел Бернулли на
регулярное , то в обоих случаях 
независимо от того делит или не делит ) [6].
Из литературы
[3-5] известно, что 
тогда и только тогда делит
числитель числа 
(в нашем случае оно обозначено
), когда 
,
если не делит числители чисел Бернулли 
, то второй сомножитель 
в выражении 
отличен
от нуля по модулю (в нашем случае 
) в 
случаях
, т. е. 
, но
, где дробное
или целое число не зависимо от того 
или несравнимо.
Как известно
[5], – число классов эквивалентности
дивизоров. Предел 
одинаков при суммировании по
любому классу. Поэтому 
, где суммирование
происходит по всем классам, и равен числу ,
умноженному на предел , где суммирование распространено
на главный класс.
; 
– индекс группы единиц вида: 
в группе всех единиц. В связи с
изложенном выше теорема Ферма соответствует формулировке: «Доказать, что
уравнение xр + yр = zр не имеет решений в
целых числах при n≥3 не зависимо от того делит или не делит простой
показатель р числители чисел Бернулли». Теорема Ферма на основании вышеизложенного
доказана.
На основе полученных результатов и имеющихся литературных источников предлагается следующее:
1. Доказать, что уравнение xn +yn+zm +sm=tp не имеет решений в целых числах , где x≠y≠z≠s≠t≠0, m,n,p-простые числа; n,m,p≥5; х,y,z,s,t-простые нечетные числа.
2. Доказать, является или не является число 1.2.3.5.7.11…m + 1..3.5.7.11…n степенью целого числа (то есть 1.2.3.5.7.11…m + 1..3.5.7.11…n=zp), где m≠n≠p≠0, m,n,p – простые числа x≠y≠0.
3. Доказать, что любое простое нечетное число m можно представить в виде 2n + k=m, где n≥1, k-простое нечетное число.
Литература
1. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М.: Издательство иностранной литературы. Пер. с польского.-1963.- 89 с.
2. Воронин С.М. Простые числа. М.: Знание.-1978.-63 с.
3. Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.–1985.– 368 с.
4. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: – 1980. –Наука– 239 с.
5. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир.–1980.– 480 с.
6. Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-а Мiжнародна мiждисциплiнарна науково-практична школа-конференцiя. Харькiв – 2007. – С. 80.
Поступила в редакцию 29.05.2014 г.