О сравнении по ненулевому рациональному модулю

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального технического университета, академик МИА и МАИТ.

Из литературных источников [1, 2] известны свойства сравнения, т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа, если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с и а и b при делении на их на c дают одинаковые остатки.

Нами показано [3], что всякое натуральное число сравнимо по ненулевому рациональному модулю независимо от того, делится или не делится а на k (а, так как это аналогично сравнению а (в нашем случае b=0), с может быть целым или дробным числом ≥1 (с=а:k). При этом k может принимать значения 2,3,…,а-1 и возникать частный случай, когда а:k=c – целое или дробное число. Это означает, что а, где (а-b):c=f, где f-целое или дробное число≥1 (с=1,2,3,…,(а-b).

Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение [4], т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел.

Проиллюстрируем на обычном числовом примере: 350(mod 5)(mod); 350(mod 3)0(mod ), где f может быть дробным или целым числом ≥1 (c=1.2,3,…,35; a=35; a:c=f).

Таким образом, классы сравнения по ненулевому рациональному модулю можно складывать, перемножать очевидным образом, как это описано в литературе [1, 2, 4].

Обобщая источники и полученные данные [1-4], предлагается следующее.

1.                  Доказать, может ли уравнение (xⁿ+x^n-1y+…+xy^n-1+yⁿ)–(x^m+x^m-1y+… +y^m.^-1x+y^m)=z^p иметь решения в целых числах при n,m,р≥3 ( m,n,p –простые числа, m≠n≠p).

2.                  Доказать имеет ли решение уравнение (xⁿ+yⁿ) – (s^m+t^m)=z^p решения в целых числах при m,n,p ≥3, m≠n≠p – простые числа (x ≠ y≠s ≠ t≠0).

3.                  Доказать, может ли сумма двух чисел a и b быть степенью n третьего целого числа c (a+b=cⁿ), если они имеют обратный порядок расположения цифр (n3, число цифр одинаковое).

4.                  Доказать, может ли иметь решения в целых числах уравнение xⁿ(x^n-1+ x^n-2y+ ^…+y^n-2x+y^n-1+1) + y^n-1(y^n-1 + y^n-2x +^…+x^n-2y + x^n-1+1)=z^m (mn; m,n3; xy0).

5.                  Доказать, бесконечно ли количество нечётных составных чисел вида x^n-1 – 1 при простом n≥5, где х – четное число.

6.                  Доказать, является или не является выражение 1^.3^.5^…m + 1^.3^.5^…n степенью целого числа р ( то есть 1^.3^.5^…m + 1^.3^.5^…n =Р^k ) , где m≠n, k≥3- простое число,m и n - простые нечетные числа.

7.                  Доказать, является или не является выражение 1^.2^. 3^.4 5^…m + 1^.2^{. .}3^.4 ^.5^…n степенью целого числа р (то есть 1^.2^. 3^.4 ^.5^…m + 1^.2 ^.3^.4 ^.5^…n =Р^k ) , где m≠n, k≥3- простое число, m и n – натуральные числа.

8.                  Доказать, является или не является выражение 1^. 3^. 5^…m +2 простым числом при любом значении m, где 1^. 3^. 5 ^. m – произведение простых нечетных чисел.

9.                  Доказать, является или не является выражение 1^. 3^. 5^…(2n-1) +2 простым числом при любом значении n , где 1^. 3^. 5^…(2n-1) – произведение нечетных чисел.

10.              Доказать, является или не является выражение 2 (^.1^. 3^. 5^…(2n-1)) +1 простым числом при любом значении n , где n –любое натуральное число.

11.              Доказать, имеет или не имеет решения в целых числах уравнение x^x +y^y = z^z x,y,z≥3 – простые нечетные числа, х≠у≠0.

12.              Доказать, является или не является число х^х +2 простым, если х – простое нечетное число ≥3.

13.              Доказать, имеет или не имеет решений уравнение(х+у)ⁿ – (xⁿ +x^n-1. .y+^….+y^n-1 x +yⁿ )=zⁿ в целых числах при n≥3, где n-простое число, х≠у≠0.

14.              Доказать, что уравнение (х+у)ⁿ – (xⁿ +x^n-1y+^…. +y^n-1x +yⁿ ) =zⁿ имеет или не решений в целых числах при простом n, где х≠у≠0, n≥5.

Литература

1.                  Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.-1985.-38 с.

2.                  Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.:Наука – 1980-239.

3.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу доказательства теоремы Ферма: сравнение по ненулевому рациональному модулю. Материалы XVI Международной научно-технической конференции. Информационная среда вуза. Ивановский государственный архитектурно-строительный университет. Иваново.-2009. – С.439-443.

4.                  Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма. М.:Мир. – 476 с.

Поступила в редакцию 24.04.2014 г.