Гипотеза Била и уравнение ВТФ

 

Яковлева Ольга Николаевна.

 

Гипотеза Била

 

Если

A^x+B^y=C^z                                                                                                                                                       (1)

где A,B,C,x,y.z - натуральные числа, x,y,z > 2,то A,B,C имеют общий простой делитель.

Представим числа A,B,C в виде:

A=ta, B=ub, C=vc,

где a,b,c - простые делители, следовательно

Исследование тромбодинамики

исследование тромбодинамики

clinica-shmidta.ru

A^x= (ta)^x=t^xa^x, B^y= (ub)^y=u^yb^y, C^z= (vc)^z=v^zc^z

Уравнение (1) представим

t^xa^x+u^yb^y=v^z c^z                                                                                                          (2)

Если уравнение (2) имеет натуральные решения относительно переменных ta, ub,vc, то уравнение, составленное относительно переменных a,b,c, также будет иметь натуральные решения. Составив такое уравнение и определив его корни, можно выяснить, какие значения переменных являются решением уравнения по условию.

Например

3³+6³=3⁵

A=1*3, t=1, a=3

B=2*3,u=2,b=3

C=1*3,v=1,c=3

тогда, если верно равенство

A³+B³=C⁵

3³+6³=3⁵,

то верно

1³3³+2³3³=1⁵3⁵

или

a³+8b³=c⁵

Целое (натуральное) число (t^xa^x+u^yb^y ) представим по формуле остатков от деления целого числа на данное натуральное (a³+b³).

(t^xa^x+u^yb^y)=q(a³+b³)+r, где q ,r – натуральные, 0≤ r<(a³+b³), q#0

q=1, r=0, если A=a, B=b, x=3, y=3,

таким образом, обозначено условие, что x,y>2.

Уравнение (2) представим:

q(a³+b³)+r = v^z c^z

q(a³+b³)= v^z c^z -r                                                                                                      (3)

Так как в уравнении (3) все числа натуральные, делители левой и правой части будут одинаковыми, следовательно

q(a³+b³)=qp(a+b)                                                                                                    (4)

q#0, уравнение (4) заменим равносильным уравнением

(a³+b³)=p(a+b)                                                                                                        (5)

где p=a²-ab+b²

Уравнение (5) будет верным при a=b

2a³=a²2a                                                                                                                  (6)

следовательно, a=b –натуральное решение уравнения (5).

Рассмотрим, имеет ли уравнение (5) другие натуральные решения.

Воспользуемся формулой для cуммы кубов

(a+b)³-3ab(a+b)-p(a+b )=0                                                                                    (7)

Левую часть уравнения разложим на множители, тогда уравнение примет вид:

(a+b)((a+b)²-3ab-p)=0                                                                                            (8)

Равенство нулю произведения двух множителей означает, что

a+b=0                                                                                                                      (9)

(a+b)²-3ab-p=0                                                                                                        (10)

Уравнение (9) имеет одно решение a= -b, но оно не подходит по условию задачи.

Уравнение (10) запишем в двух вариантах:

1)                 a²-ab=p-b²                                                                                                    (11)

2)                 b²-ab=p-a²                                                                                                    (12)

Из отношения (12) к (11)

Так как числа a и b простые числа, то при a#b в числителях имеем разность двух нечетных чисел, т.е. четные числа, в знаменателях всегда нечетные числа, а это означает, что частное от деления не может быть целым числом, а числа a и b не могут быть одновременно целыми.

Уравнение (12) можно получить также из уравнения (5), следовательно, оно имеет только одно натуральное решение: a=b, a число A^x(A) и число B^y(B) имеют общий простой делитель. Следовательно, число C^z (C) также имеет простой делитель, равный числу a=b=c.

Вывод: Гипотеза верна.

 

Уравнение ВТФ

 

Теорема. Уравнение

Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ                                                                                                                (1)

не имеет натуральных решений при взаимно простых A,B,C и натуральном n>2.

Предположим, что уравнение (1) имеет натуральные решения.

Тогда уравнение относительно переменных a,b,c, где a,b,c-простые делители чисел A,B,C, также будет иметь натуральные решения.

Доказательство, того, что это уравнение будет иметь натуральные решения только при a=b=c, проводим аналогично вышеприведенному доказательству гипотезы Била.

В результате получим противоречие, которое состоит в том, что числа A,B,C не могут иметь общих делителей, так как они взаимно простые.

Следовательно, предположение неверно, а уравнение (1) не имеет натуральных решений при n>2.

 

Литература

 

1.                  Г.В. Дорофеев и др. Математика,8кл., М., И-д «Дрофа»,1999.

2.                  http://www.ams.org//profession/prizes-awards/ams-supported/beal-prize.

 

Поступила в редакцию 19.08.2015 г.