Магнитоупругое деформирование гибких оболочек с учетом ортотропной электропроводности

 

Индиаминов Равшан Шукурович,

доктор физико-математических наук,

Муртазаева Умида Исакуловна,

Наркулов Акрам Сидикович,

ассистенты.

Самаркандский филиал Ташкентского университета информационных технологий, Самарканд, Узбекистан.

 

В работе рассмотрена задача магнитоупругости для гибкой ортотропной конической оболочки с учетом ортотропной электропроводности. Представлены результаты числового примера. Проведен анализ напряженного состояния гибкой ортотропной оболочки, находящейся под действием переменной по времени механической силы и переменного по времени внешнего электрического тока, с учетом механической и электромагнитной ортотропии.

Ключевые слова: оболочка, магнитное поле, магнитоупругость.

 

A nonlinear problem of magnetoelasticity is considered in the axisymmetric statement for an orthotropic conicical shell with orthotropic conductivity. A system of nonlinear differential equations is obtained, which describes the stress-strain state of flexible orthotropic conicical shelss in mechanical and magnetic fields. A numerical example is given, where the analysis of stress state of orthotropic shell is carried out in dependence with the external current and mechanical force.

Keywords: magnetoelasticity, orthotropic shell, shell, magnetic field.

 

Введение

 

Развитие современной техники, эксплуатация которой связана с нагружением элементов конструкций в условиях взаимодействия разных физических факторов, обусловливает необходимость создания теории сопряженных полей упругих тел и разработки методов исследования их напряженности и деформативности. На основе этой теории могут быть решены важные для технического применения задачи движения токонесущих тел (пластин, оболочек) в магнитном поле.

Связанная разрешающая система нелинейных магнитоупругих уравнений в частных производных восьмого порядка, описывающая напряженно-деформированное состояние гибких токонесущих ортотропных оболочек обладающей ортотропной электропроводности в переменном магнитном поле, а также методика решения такого нового класса задач изложены в [1, 2], где связанная система уравнений электромагнитодинамики получена в лагранжевых переменных, отнесенных к недеформированной срединной поверхности оболочки в ортогональной криволинейной системе координат.

 

Постановка задачи

 

Рассматриваем гибкую токонесущую бороалюминиевую коническую оболочку, находящуюся во внешнем магнитном поле  под действием нормальной поверхностной нагрузки . К контурам оболочку подводится сторонний электрический ток плотности  а также оболочка имеет конечную ортотропную электропроводность . Считаем, что сторонний электрический ток в невозмущенном состоянии равномерно распределен по оболочке, т.е. плотность стороннего тока не зависит от координат. Контур малого радиуса  свободен в нормальном направлении, а второй контур – жестко закреплен.

Для эффективного использования предложенной методики [1, 2] предполагаем, что при появлении внешнего магнитного поля не возникает резких скин-эффектов по толщине оболочки. Отметим, что в рассматриваемом случае произвольная поверхность второго порядка обладает тремя взаимно перпендикулярными осями второго порядка и можно расположить эти оси параллельно кристаллографическим осям второго порядка, а также характеристическая поверхность второго порядка обладает всеми элементами симметрии, которые могут быть у классов орторомбической системы. Для получения устойчивого процесса счета введем замену , где  - безразмерная плотность.

В такой постановке система уравнений, описывающая на соответствующем временном слое нелинейные колебания гибкой токонесущей ортотропной конической оболочки, согласно [1,2], после применения метода квазилинеаризации принимает вид

 

 

 

 

 

 (1)

 

 

 

 

Выбирая в качестве независимой переменной длину образующей конуса  , величины, характеризующие геометрию оболочки, выразятся формулами

.

 

В этом случае граничные условия запишем в виде

          (2)

 

Начальные условия принимают вид

.                                       (3)

Здесь меридиональное и окружное усилия; сдвигающее усилие; перерезывающее усилие;  изгибающие моменты;  перемещение и прогиб;  угол поворота нормали;  компоненты механической нагрузки; окружная составляющая напряженности электрического поля; нормальная составляющая магнитной индукции; известные составляющие магнитной индукции из поверхности оболочки; составляющая плотности электрического тока от внешнего источника; – модули упругости по направлениям соответственно; коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в направлении осей координат; магнитная проницаемость; круговая частота; –главные компоненты тензора удельной электропроводности.

При решении задачи параметры принимают следующие значения:

, , , , ,  , , , , , ,,

 , , (4)

 , .

 

Проведены исследования напряженно-деформированного состояния гибких оболочек в геометрически нелинейной постановке для различных материалов, в частности, для ортотропного токонесущего конуса из бериллия и изотропного токонесущего конуса из алюминия, а также для изотропного конуса из алюминия при отсутствии магнитного поля и стороннего тока.

На рис. 1 и 2 показаны распределения максимальных значений напряжений  и меридионального изгибающего момента  вдоль меридиана оболочки в момент времени  для всех вариантов:

1-токонесущей ортотропный конус из бериллия; 2-токонесущей изотропный конус из алюминия; 3-изотропный конус из алюминия при отсутствии магнитного поля и стороннего тока.

Из приведенных кривых видно, что картина распределения изменения напряжений и изгибающего момента отличаются количественно и качественно. На отрезке 0,08м<s<0,4м наблюдается противофазное распределение напряжений и изгибающего момента. Максимальные их значения возникают около левого сечения оболочки при . При этом при наличии магнитного поля и стороннего тока и их отсутствии значения напряжений и изгибающего момента в отличаются 1,5 раза.

На рис. 3 показано распределение магнитной индукции  в зависимости от времени при  для вариантов: 1 - изотропного конуса из алюминия; 2-ортотропного конуса из бериллия. Из кривых видно, что в оболочках из бериллия по сравнению изотропного конуса из алюминия магнитная индукция примерно на 1,3 раза больше и их максимальные значения возникают при . На рис. 4 показано распределение нормальной составляющей силы Лоренца  вдоль меридиана оболочки в момент времени  для вариантов: 1 - изотропного конуса из алюминия; 2 - ортотропного конуса из бериллия. На левом конце оболочки в случае материала конуса из бериллия сила Лоренца превышает в 3 раза по сравнению конуса из изотропного алюминия.

Полученные результаты показывают о влиянии ортотропной электропроводности, стороннего электрического тока и внешнего магнитного поля на напряженно-деформированного состояния оболочки, а учет геометрической нелинейности позволяет существенно уточнить картину деформирования.

 

Рис. 1. Распределение  при  для всех вариантов:

1 – ортотропного конуса из бериллия; 2 – изотропного конуса из алюминия; 3 – изотропного конуса из алюминия при отсутствии магнитного поля и стороннего тока.

 

Рис. 2. Распределение  при  для всех вариантов: 1 – ортотропного конуса из бериллия; 2 – изотропного конуса из алюминия; 3 – изотропного конуса из алюминия при отсутствии магнитного поля и стороннего тока.

 

Рис. 3. Распределение  при  для вариантов:

1 – изотропного конуса из алюминия; 2 – ортотропного конуса из бериллия.

 

Рис. 4. Распределение  при  для вариантов:

1 – изотропного конуса из алюминия; 2 – ортотропного конуса из бериллия.

 

Литература

 

1.                  L. V. Mol’chenko, I. I. Loos, and R. Sh. Indiaminov, “Magnetoelasticity of a conical shell with orthotropic conductivity: Geometrically nonlinear problem formulation,” Vestn. Kiev. Nats. Univ., No. 2, 85–90 (2007).

2.                  L.V. Mol`chenko, I.I. Loss., R.SH. Indiaminov. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shells of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – New York, 2008. – Vol. 44. – No.8. – P. 882 - 891.

 

Поступила в редакцию 22.05.2015 г.