Определение корреляции и регрессии в примерах
Юлдашев С. А.,
старший преподаватель,
Исломов Ё. А.,
старший преподаватель,
Садуллаева М. З.,
преподаватель.
Ташкентский институт проектирования строительства и эксплуатации автомобильных дорог.
Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y.
Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы:
1. Вычисление выборочных коэффициентов корреляции.
2. Составление корреляционной таблицы.
3. Проверка статистической гипотезы значимости связи.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и φ(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии.
Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возраcте, чем у школьников одного и того же класса.
Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:
(7)
где σX и σY выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y, которые вычисляются по формулам:
(8)
Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции rB состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r: r=rB (9)
Принимая во внимание формулы:
видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:
(10)
где 
. То же можно сказать о
выборочном уравнений линейной регрессии Х на Y:
(11)
Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции:
1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю.
2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости.
3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X.
По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе – сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной.
Сила и характер связи между параметрами в таблице 1.
Таблица 1.
|
Сила связи |
Характер связи |
|
|
Прямая (+) |
Обратная (-) |
|
|
Полная |
1 |
-1 |
|
Сильная |
От 0,7 до 1 |
От -0,7 до -1 |
|
Средняя |
От 0,3 до 0,7 |
От -0,3 до -0,7 |
|
Слабая |
От 0,3 до 0 |
От -0,3 до 0 |
|
Связь отсутсвует |
0 |
0 |
Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице 2 в виде двумерной выборки объема 11.
Таблица 2.
|
X |
68 |
37 |
50 |
53 |
75 |
66 |
52 |
65 |
74 |
65 |
54 |
|
Y |
114 |
149 |
146 |
141 |
114 |
112 |
124 |
105 |
141 |
120 |
124 |
Требуется:
1) Вычислить выборочный коэффициент корреляции;
2) Оценить характер и силу корреляционной зависимости;
3) Написать уравнение линейной регрессии Y на Х.
Решение. По известным формулам:
Отсюда, по (7) и (8):
Таким образом, следует сделать вывод, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами Х и Y является по характеру – обратной, по силе – средней.
3) Уравнение линейной регрессии Y на Х:
Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы (таблица 3).
Таблица 3.
|
Y\X |
18 |
22 |
26 |
30 |
ny |
|
70 |
5 |
|
|
|
5 |
|
75 |
7 |
46 |
1 |
|
54 |
|
80 |
|
29 |
72 |
|
101 |
|
85 |
|
|
29 |
8 |
37 |
|
90 |
|
|
|
3 |
3 |
|
nx |
12 |
75 |
102 |
11 |
200 |
Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х.
Решение. Для упрощения вычислений перейдем к новым переменным – условным вариантам (ui, vi), воспользовавшись формулами (*) (§3) при h1=4, h2=5, x0=26, y0=80. Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях (таблица 4).
Таблица 4.
|
u\v |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
nv |
|
-2 |
5 |
|
|
|
5 |
|
-1 |
7 |
46 |
1 |
|
54 |
|
0 |
|
29 |
72 |
|
101 |
|
1 |
|
|
29 |
8 |
37 |
|
2 |
|
|
|
3 |
3 |
|
nu |
12 |
75 |
102 |
11 |
200 |
Имеем при xi=ui и yj=vj:
Таким образом:
Отсюда, 
Вывод: Корреляционная зависимость между величинами Х и Y - прямая и сильная.
Литература
1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая школа – 2001 г.
2. Е.С. Венцель. Теория вероятностей. Высшая школа – 2001 г.
3. А.Д. Мышкис. Лекции по высшей математике. Наука – 1973 г.
4. В.Г. Дегтяров, И.А. Лапин. Высшая математика. Ленинград – 1980 г.
5. Д.Т. Письменный Конспект лекций по высшей математике. Москва – 2010 г.
6. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Высшая школа – 2001 г.
Поступила в редакцию 28.10.2016 г.