Об оценке приближенного представления функции 
Юлдашев С. А.,
старший преподаватель,
Исломов Ё. А.,
старший преподаватель,
Садуллаева М. З.,
преподаватель.
Ташкентский институт проектирования строительства и эксплуатации автомобильных дорог.
В теории
чисел функция 
обозначает
число простых чисел, меньших или равных 
([1],
с. 333). Указанная функциональная зависимость не может быть представлена в виде
аналитического выражения. Для исследования свойств возникает необходимость аппроксимации
функции .
В 19 веке А.
М. Лежандром и К. Ф. Гауссом были выполнены эмпирические исследования, посвященные
приближенному представлению функции . В
качестве основы была использована таблица простых чисел. В работах Лежандра и
Гаусса рассматривалась задача только о выборе приближающей функции в том или
ином смысле близкой к функции .
«В 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически формулу
дающую
приближенные значения функции при
больших значениях x» ([1], с. 333). «Гаусс еще в юношеские годы вычислял
среднюю плотность простых чисел в пределах имевшихся тогда таблиц, и эти
вычисления показывали, что именно выражение
является
функцией, хорошо аппроксимирующей » ([1],
с. 333).
Теоретические исследования аппроксимации функций берут начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории – понятие наилучшего приближения функции полиномами.
«В 1848 и
1850 гг. появились две замечательные работы П. Л. Чебышева, в которых исследовался
вопрос о порядке роста функции . В
работе 1850 г. Чебышев доказал, что функция при
больших значениях x заключена между двумя величинами:
Работы
Чебышева поставили перед математиками задачу установить асимптотическую оценку для
функции при 
. (1)
Формула (1) означает, что
или, что то же самое
,
где 
при .
«Чебышев в 1848 г. доказал, что если предел (2) существует, то он может быть равен только 1. Основная трудность заключается в том, чтобы установить существование этого предела, и Чебышеву не удалось этого сделать» ([1], с. 341).
В 1896 г. Адамаром и Валле Пуссеном было получено независимо друг от друга доказательство теоремы, в которой установлено асимптотическое равенство
выражающее, что
или, что то же самое
,
где при .
точное приближение
к , чем 
” ([1],
с. 341).
Результаты
указанных теоретических исследований дают основание применить для аппроксимации
функции в
качестве приближающей функции интегральный логарифм 
.
Следует отметить,
что асимптотическое равенство функций и может
быть установлено и тогда, когда модуль разности 
неограниченно
растет при , однако рост медленней,
чем рост 
и 
([1],
с. 26).
Таким
образом, остается открытым вопрос о точности приближения функции
к функции
.
Точность этого приближения можно оценивать по-разному. В основу, естественно, положить
рассмотрение разности (отклонения одной из этих функций от другой)
.
В частности, если бы приближение рассматривалось в заданном промежутке, то за меру близости можно было бы принять: максимальное отклонение, либо среднее отклонение, либо среднее квадратичное отклонение.
В данном
случае, когда приближение рассматривается при неограниченном росте аргумента,
т. е. когда аргумент становится больше любого фиксированного натурального числа,
то в качестве оценки принимают функцию 
, где 
для
всех достаточно больших x, т. е. при 
. Тогда
асимптотическая оценка модуля разности между и имеет
вид
. (3)
Равенство (3)
означает, что можно найти постоянную 
, такую, что
для всех
достаточно больших x, т. е. при ([1],
с. 26).
Таким
образом, возникает необходимость поставки задачи: найти точную оценку 
с
помощью выбора функции 
.
Существенные результаты в этом направлении были получены Н. Г. Чудаковым. При этом были использованы оценки соответствующих тригонометрических сумм, полученные методом Н. М. Виноградова. Последние работы Н. М. Виноградова и Н. М. Коробова дали следующую оценку
, (4)
где µ
любое положительное
число, меньшее 
([1],
с. 342).
«Есть
предположение, что модуль разности между и значительно
меньше, чем это дано в формуле (4). Предполагают, что модуль этой разности
представляет собой величину порядка
” ([1],
с. 354).
В настоящей
статье ставится задача: эмпирически обосновать численными методами, что модуль разности
между и представляет
собой величину порядка 
. (5)
Равенство (5)
означает, что можно найти постоянную , такую, что
(6)
для всех
достаточно больших x, т. е. при ([1],
с. 26).
Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной работы.
Обозначим
через 
–
упорядоченное множество простых чисел; 
–
простое число; 
– порядковый номер простого числа; 
– множество натуральных
чисел.
В дальнейшем
функция рассматривается
как числовая функция ([1], с. 315).
Согласно
определению значение функции можно
вычислить по формуле
где
суммирование выполняется по всем простым числам 
, таким, что 
.
Для
рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции и
в других точках, являются не натуральные значения аргумента , а простые числа.
Действительно,
если задано упорядоченное множество простых чисел 
, то значение функции может
быть вычислено по следующему алгоритму
Алгоритмический
способ задания функции задает
правило соответствия, которое устанавливает зависимость функции от двух
атрибутов простого числа: значения простого числа и его порядкового номера.
Отметим некоторые
свойства функции :
функция имеет
бесконечное множество разрывов первого рода в точках слева;
значения
функции в точках равны 
(согласно
определению);
значения
функции в точках слева
равны 
;
скачки
функции в точках слева
равны 
;
функция
сохраняет постоянные значения в частичных промежутках 
согласно
теорема Евклида ([1], с. 31) 
при 
при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.
В дальнейшем
частные значения функции 
, которые
отвечают частным значениям аргумента 
,
рассматриваются как сложная функция от аргумента k ( интерпретируется
как функция натурального аргумента k).
В рамках
исследования точности аппроксимации функции , когда
в качестве приближающей функции используется функция ,
выдвинуто предположение, что модуль разности между и представляет
собой величину порядка 
. (2)
Равенство
(12) означает, что можно найти постоянную 
,
такую, что
(3)
для всех
достаточно больших x, т. е. при ([1],
с. 26).
Для
вычисления значения постоянной A были использованы табличные значения функции
.
Расчеты выполнены по формуле
Таким
образом, для этого предположения оценка модуля разности между и 
может
быть принята в виде
при 
.
Для
исследования зависимости параметра A, приведенного в формуле (3), от
параметра 
были
выполнены расчеты. Результаты расчета значений параметра A для
нескольких значений параметра приведены
ниже:
(для
справки: 
);
(для
справки: 
);
(для
справки: 
);
(для
справки: 
);
(для
справки: 
).
Следует
отметить, что из рассмотренных оценок модуля разности между 
,
,
(4)
оценка (4) принята как более точная.
Эта оценка
справедлива на отрезке 
и
можно предположить, что она допускает экстраполяцию на множество значений x,
такое, что 
.
Заключение. Результаты эмпирических исследований дают основание поставить следующую задачу: доказать, что предельно точная оценка модуля разности между
и 
имеет
вид 
при
.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2008. С. 384.
2. Нечаев В.И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 2005. С. 199.
Поступила в редакцию 28.10.2016 г.