Движение по окружности
Берников Василий Русланович,
инженер, г. Нижний Новгород.
Рассмотрим равномерное движение точки В массой m с угловой скоростью wо по окружности на двух шарнирно связанных невесомых стержнях ОА и АВ (рис.1).
Рис. 1.
Если длина стержня АВ < 2R, тогда, очевидно, точка В движется по траектории устойчивого равновесия: окружности радиуса R. При отклонении точки В от состояния равновесия к центру окружности возникает радиальная составляющая скорости, направленная от центра, и возвращает точку В на окружность. При отклонении точки В от состояния равновесия от центра окружности возникает радиальная составляющая скорости, направленная к центру и также возвращает точку В обратно на окружность.
Если вращение стержней произвести в обратную сторону, то из-за прохождения большего пути точки В через определённый промежуток времени стержни примут положение в одну линию, а затем продолжая отставать по времени точка В примет положение устойчивого равновесия противоположное рисунку 1.
Пусть АВ = ОА = R. Точка А, соответственно, и точка В, двигаются по одной окружности с тангенциальным ускорением w с изменяющейся угловой скоростью w на двух шарнирно связанных стержнях ОА и АВ (рис. 2), причём движение к центру ограничено окружностью. Ускорение точки В обеспечивается силой
F = m w.
Треугольник ОАВ равнобедренный, тогда проекция силы F на стержень ВА будет
FВА = m w cos (Y/2).
Радиальная составляющая проекции FВА, действующая на окружность будет
Fр = m w cos (Y/2) sin (Y/2).
Рис. 2.
При равномерном движении давление радиальной составляющей силы Fр на окружность отсутствует, но оно появляется, если тело отклонить в ту или другую сторону от окружности.
Пусть точка В движется по окружности с замедлением w на двух шарнирно связанных стержнях ОА и АВ (рис. 3), причём движение от центра ограничено окружностью, тогда радиальная составляющая будет действовать на окружность в сторону от её центра (рис. 3).
Рис. 3.
Точку В, взаимодействующей с окружностью, можно считать внешним телом, но входящей в замкнутую систему, так как данная сила взаимодействия возникает только при наличии подвижной боковой связи с телом, обеспечивающей его вращение. Таким образом, кроме известных внешних сил инерции [2, с.364], [4, с.144] (поступательная, центробежная, кориолисова, фазовая) в замкнутой системе появляется ещё одна внешняя сила – радиальная сила бокового взаимодействия.
Рис. 4.
Вычислим среднее [1, с.451] значение Fср проекции Fр^ радиальной силы (рис. 4) перпендикулярной диаметру полуокружности для твёрдого тела. Энергия поступательного движения может переходить в энергию вращательного движения и наоборот [3, с.424-428]. Для этого, достаточно вычислить значение для полуокружности движущегося с положительным ускорением тела, так как для полуокружности с замедлением тела будет то же самое значение, но с противоположным направлением
π
Fср = 1 /π ∫ mwcos(Y/2)sin(Y/2)sinα dα = (2 /π)mwcos(Y/2)sin (Y/2)
0
или, используя формулу двойного угла из тригонометрии
Fср = mwsinY/π. (1.1)
Пусть m=1кг; w=5м/с2; Y=90°, тогда
Fср = 1×5×sin90°/π » 1,59Н.
Теперь вычислим радиальную силу для жидкости (рис. 5). Пусть положительное ускорение начинается с приложением силы в начале полуокружности.
Рис. 5.
Запишем элементарную функцию радиальной силы, действующей на элемент трубки тора массой ∆m и длиной ∆ℓ:
∆Fр = (1/2)∆mwsin(∆Y). (1.2)
Масса элемента равна плотности потока, умноженной на его объём
∆m = ρ ∆V. (1.3)
Длина половины тора по средней линии
ℓ = π R,
где π – число пи.
Объём половины тора
V = π2 Rr2 = πR π r2 = ℓ π r2,
где r - радиус трубки тора.
Для элементарного объёма запишем
∆V = ∆ℓ π r2.
Известно, что для окружности
∆ℓ = R∆Ψ,
тогда
∆V = π r2 R∆Ψ. (1.4)
Подставим выражение (1.4) в (1.3) получим:
∆m = ρ π r2 R∆Ψ. (1.5)
Теперь подставим (1.5) в (1.2), тогда
∆Fр = (1/2)ρ π r2 R wsin(∆Y)∆Ψ. (1.6)
Радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент (рис. 5)
∆Fр^ = ∆Fр sinY= (1/2)ρ π r2 R wsinYsin(∆Y)∆Ψ. (1.7)
Рис. 6.
Так как в жидкости действует сила инерции от каждого элемента на соседний, то необходимо учесть их радиальную составляющую (рис.6)
∆Fри = ∆mwsin(∆Y/2). (1.8)
∆Fри – это радиальная сила инерции, которая действует с последнего элемента на предыдущий. Если количество элементов n, то на k-й элемент действует радиальная сила инерции (n-k)∆Fри. Радиальная сила инерции, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент
∆Fри = (n-k)∆mwsin(∆Y/2)sinY = (n-k)ρ π r2 Rwsin(∆Y/2)sinY∆Ψ. (1.9)
Итак, общая радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент будет
∆Fk^ = ρ π r2 R wsinY[(1/2)sin(∆Y) + (n-k)sin(∆Y/2)]∆Ψ. (1.10)
Уравнение (1.10) решаем приближённым методом для 11 элементов.
Пусть w=5м/с2; r=0,02м; ρ=1000кг/м3; R=0,2м; n=11; ∆Y=18°; Y=(0°,18°,36°,…,180°), тогда общая радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении будет
F^ » 2,3Н.
Если положительное ускорение циркулирующей среды начинается с приложением силы из конца полуокружности, тогда проекция радиальной силы будет действовать в обратном направлении.
Для системы, циркулирующая среда, в которой движется с замедлением по окружности с замедляющей силой в конце циркулирующей среды радиальная сила имеет такое же направление как на рис.5, а с замедляющей силой в начале циркулирующей среды в обратную сторону.
Для системы, циркулирующая среда, в которой движется равномерно по окружности радиальная сила отсутствует.
Литература
1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 14-е изд., – М.: ООО «Большая медведица», АПП «Джангар», 2001, 864с.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ., 2010, 560с.
3. Хайкин С.Э. Физические основы механики, М.: Наука, 1971, 752с.
4. Берников В.Р., Силы инерции и основной закон механики, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №11 (101), ноябрь 2014, стр.144-165, ISSN 1991-3087.
Поступила в редакцию 02.06.2016 г.